pierwiastki trzeciego stopnia

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
adi0201
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 35
Rejestracja: 20 lis 2009, o 19:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 8 razy

pierwiastki trzeciego stopnia

Post autor: adi0201 »

Witam, mam problem z dwoma przykładami, a mianowicie:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{2-2i}=}\)

Wyliczyłem moduł \(\displaystyle{ |z|=2 \sqrt{2}}\)
następnie odpowiednio

\(\displaystyle{ \begin{cases} \cos \alpha = \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ \sin \alpha = \frac{ \sqrt{2} }{2} \end{cases}}\)

zatem, \(\displaystyle{ \alpha= \frac{\pi}{4}}\)

czyli:
\(\displaystyle{ 1 \right) \sqrt[3]{2-2i}=\sqrt{\sqrt{8}} \left( \cos \frac{\pi}{12}+i\sin \frac{\pi}{12} \right)}\)


Jak mogę dalej rozwiązać to równanie? Z góry dziękuję za pomoc
Ostatnio zmieniony 14 lis 2012, o 21:08 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Poprawa wiadomości.
lukasz1804
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1313 razy

pierwiastki trzeciego stopnia

Post autor: lukasz1804 »

Nie zgadza się wartość \(\displaystyle{ \sin\alpha}\), a tym samym i miara kąta \(\displaystyle{ \alpha}\).
adi0201
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 35
Rejestracja: 20 lis 2009, o 19:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 8 razy

pierwiastki trzeciego stopnia

Post autor: adi0201 »

racja, więc po korekcie będzie tak:

\(\displaystyle{ \begin{cases} \cos \alpha = \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ \sin \alpha = \frac{- \sqrt{2} }{2} \end{cases}}\)

zatem, \(\displaystyle{ \alpha= \frac{7\pi}{4}}\)

czyli:
\(\displaystyle{ 1) \right) \sqrt[3]{2-2i}=\sqrt{\sqrt{8}} \left( \cos \frac{7\pi}{12}+i\sin \frac{7\pi}{12} \right)}\)


Czy mogę w jakiś sposób wyliczyć to równanie?
Awatar użytkownika
omicron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 305
Rejestracja: 10 wrz 2009, o 19:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowy Sącz
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 39 razy

pierwiastki trzeciego stopnia

Post autor: omicron »

Moduł jest zły.

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{2\sqrt{2}}\neq\sqrt{\sqrt{8}}}\)

Jak masz jeden z pierwiastków n-tego stopnia liczby zespolonej, to pozostałe możesz wyznaczyć obracając owy o pewien kąt. W praktyce jest to przemnożenie przez pewną liczbę zespoloną daną następująco:

\(\displaystyle{ \omega_0=\cos\left(\frac{2\pi}{n}\right)+i\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)}\)
ODPOWIEDZ