przedstawienie Eulera w dowodzie

[kamiolka28]

Korzystając z przedstawienia Eulera liczby zespolonej, udowodnij że:
\(\displaystyle{ 2 \sin x \cos y=\sin \left( x-y \right) +\sin \left( x+y \right)}\)


Skorzystałam z tego, że \(\displaystyle{ e^{ix}=\cos x + i\sin x}\) oraz \(\displaystyle{ e^{-ix}=\cos x - i\sin x}\)
wyliczyłam z tego układu, że:
\(\displaystyle{ \cos x= \frac{e^{ix} +e^{-ix}}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ \sin x= \frac{e^{ix}+e^{-ix}} {2i}}\)
i teraz to podstawiłam do LEWEJ strony równania.
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} i \left[ \left( e^{ix} - e^{-ix} \right) \left( e^{iy} - e^{-iy} \right) \right] =\\=
\frac{1}{2} i \left( e^{ix+iy} + e^{ix-iy} - e^{-ix+iy} - e^{-ix-iy} \right) =\\= \frac{1}{2} i \left( e^{i(x+y)} + e^{i(x-y)} - e^{-i(x+y)} - e^{-i(x+y)} \right)}\)
czy to jest dobrze... ?
bo potem jak jeszcze to przekształcam to nigdzie mi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) nie zniknie..;/

[Rogal]

Źle wyliczyłaś sinusa.

[kamiolka28]

\(\displaystyle{ \sin x= \frac{e^{ix}-e^{-ix}} {2i}}\)
przepraszam źle przepisała. ale potem coś jeszcze musi mi nie grać..;/

[Rogal]

Wyciąganie i z mianownika też było kiepskim pomysłem, skoro potem chcesz wrócić do sinusów, to musisz mieć i w mianowniku, nie w liczniku. Zrób to porządnie, a jak dalej nie będziesz wiedziała, to wklep tutaj porządną wersję.