Wykaż, że w ciągu nie występują dwa takie same wyrazy.

[omicron]

Wykaż, że w ciągu nie występują dwa takie same wyrazy.

\(\displaystyle{ a_n=\left(\frac{2+i}{2-i}\right)^n}\)

Doprowadziłem to do postaci:

\(\displaystyle{ a_n=\cos(\alpha n)+i\sin(\alpha n)}\)

gdzie

\(\displaystyle{ \tg(\alpha) = \frac{4}{3}}\)

lub inaczej

\(\displaystyle{ \begin{cases} \cos(\alpha)=\frac{3}{5} \\ \sin(\alpha)=\frac{4}{5} \end{cases}}\)

Żeby wyraz się nie powtórzył musi być spełniony warunek:

\(\displaystyle{ \forall_{ n\in \mathbb{N},   k\in \mathbb{Z}} \quad n \alpha \neq \alpha + 2k\pi}\)

I nie mam pomysłu jak to wykazać.

[pyzol]

A gdzie masz promień?

[omicron]

Że moduł?

\(\displaystyle{ |a_n|=1}\)

dla każdego n. Bo

\(\displaystyle{ \frac{2+i}{2-i} = \frac{(2+i)^2}{4+1} = \frac{3}{5} + i\frac{4}{5}}\)

\(\displaystyle{ \left|\frac{3}{5} + i\frac{4}{5}\right|=1}\)

[pyzol]

Ja bym tak przyrównał:
\(\displaystyle{ \frac{a_n}{a_k}=a_{n-k}}\)
Wtedy warunek łatwiejsze nieco:
\(\displaystyle{ a_{n-k}=a_1^{n-k}=1\\
\alpha = q\pi}\)
Gdzie \(\displaystyle{ q}\) jest liczbą wymierną, ale nie wiem jak to wykazać.

[omicron]

Z przekształcenia mojego warunku wynika to samo bo:

\(\displaystyle{ \alpha \neq \frac{2k\pi}{n-1}}\)

a

\(\displaystyle{ \frac{2k}{n-1}=q \in \mathbb{Q}}\)