Wykaż, że w ciągu nie występują dwa takie same wyrazy.
\(\displaystyle{ a_n=\left(\frac{2+i}{2-i}\right)^n}\)
Doprowadziłem to do postaci:
\(\displaystyle{ a_n=\cos(\alpha n)+i\sin(\alpha n)}\)
gdzie
\(\displaystyle{ \tg(\alpha) = \frac{4}{3}}\)
lub inaczej
\(\displaystyle{ \begin{cases} \cos(\alpha)=\frac{3}{5} \\ \sin(\alpha)=\frac{4}{5} \end{cases}}\)
Żeby wyraz się nie powtórzył musi być spełniony warunek:
\(\displaystyle{ \forall_{ n\in \mathbb{N}, k\in \mathbb{Z}} \quad n \alpha \neq \alpha + 2k\pi}\)
I nie mam pomysłu jak to wykazać.
Wykaż, że w ciągu nie występują dwa takie same wyrazy.
- omicron
- Użytkownik
- Posty: 305
- Rejestracja: 10 wrz 2009, o 19:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowy Sącz
- Podziękował: 10 razy
- Pomógł: 39 razy
Wykaż, że w ciągu nie występują dwa takie same wyrazy.
Że moduł?
\(\displaystyle{ |a_n|=1}\)
dla każdego n. Bo
\(\displaystyle{ \frac{2+i}{2-i} = \frac{(2+i)^2}{4+1} = \frac{3}{5} + i\frac{4}{5}}\)
\(\displaystyle{ \left|\frac{3}{5} + i\frac{4}{5}\right|=1}\)
\(\displaystyle{ |a_n|=1}\)
dla każdego n. Bo
\(\displaystyle{ \frac{2+i}{2-i} = \frac{(2+i)^2}{4+1} = \frac{3}{5} + i\frac{4}{5}}\)
\(\displaystyle{ \left|\frac{3}{5} + i\frac{4}{5}\right|=1}\)
- pyzol
- Użytkownik
- Posty: 4346
- Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowa Ruda
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 929 razy
Wykaż, że w ciągu nie występują dwa takie same wyrazy.
Ja bym tak przyrównał:
\(\displaystyle{ \frac{a_n}{a_k}=a_{n-k}}\)
Wtedy warunek łatwiejsze nieco:
\(\displaystyle{ a_{n-k}=a_1^{n-k}=1\\
\alpha = q\pi}\)
Gdzie \(\displaystyle{ q}\) jest liczbą wymierną, ale nie wiem jak to wykazać.
\(\displaystyle{ \frac{a_n}{a_k}=a_{n-k}}\)
Wtedy warunek łatwiejsze nieco:
\(\displaystyle{ a_{n-k}=a_1^{n-k}=1\\
\alpha = q\pi}\)
Gdzie \(\displaystyle{ q}\) jest liczbą wymierną, ale nie wiem jak to wykazać.
- omicron
- Użytkownik
- Posty: 305
- Rejestracja: 10 wrz 2009, o 19:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowy Sącz
- Podziękował: 10 razy
- Pomógł: 39 razy
Wykaż, że w ciągu nie występują dwa takie same wyrazy.
Z przekształcenia mojego warunku wynika to samo bo:
\(\displaystyle{ \alpha \neq \frac{2k\pi}{n-1}}\)
a
\(\displaystyle{ \frac{2k}{n-1}=q \in \mathbb{Q}}\)
\(\displaystyle{ \alpha \neq \frac{2k\pi}{n-1}}\)
a
\(\displaystyle{ \frac{2k}{n-1}=q \in \mathbb{Q}}\)