Argumenty liczb, funkcje hiperboliczne

[Paulinna]

Witam wszystkich bardzo serdecznie mam dla Was dwa zadanka, o rozwiązanie których bardzo Was proszę!

Proszę obliczyć moduły i argumenty każdej z dwóch liczb\(\displaystyle{ e ^{i \phi}}\) ± \(\displaystyle{ e ^{i \psi}}\) (czyli dla obydwu
znaków).

Odwołując się do funkcji hiperbolicznych (kosinus hiperboliczny, sinus hiperboliczny)
proszę obliczyć części rzeczywistą i urojoną liczby \(\displaystyle{ \sin z}\) , gdzie\(\displaystyle{ z = a + ib .}\)

Z góry dziękuje.

[macik1423]

\(\displaystyle{ \sin z= \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}=\frac{e^{i(a+ib)}-e^{-i(a+ib)}}{2i}= \frac{-i}{2}(e^{ia-b}-e^{-ia+b})= \frac{-i}{2}(e^{ia} \cdot e^{-b}-e^{-ia} \cdot e^{b})= \frac{-i}{2}\left( e^{-b}(\cos a+i\sin a)-e^{b}(\cos a -i\sin a)\right) = \frac{-i}{2}(e^{-b}\cos a+ie^{-b}\sin a-e^{b}\cos a+ie^{b}\sin a)=\frac{-i}{2}\left( i\sin a(e^{-b}+e^{b})+\cos a(e^{-b}-e^{b})\right)= \frac{\sin a(e^{b}+e^{-b}}{2})+ \frac{i\left( \cos a(e^{b}-e^{-b})\right) }{2}=\sin a \cosh b+i \cos a \sinh b}\)