Narysuj na płaszczyźnie

[Iskath]

Witam mam do narysowania pewny zbiory liczb określone na płaszczyźnie zespolonej:
a) \(\displaystyle{ A=\left\{\left[ \frac{z-1}{z+1} \right] \ge 1 \setminus \left\{-i\right\} \right\}}\)
b) \(\displaystyle{ B=\left\{0 \le re \frac{i}{z}<1 \setminus \left\{0\right\} \right\}}\)
c) \(\displaystyle{ C=\left\{\left|z\right|+im z \ge 1\right\}}\)

W podpunkcie b) obliczyłem cześć rzeczywistą dla \(\displaystyle{ z=x+iy}\), wynosi ona \(\displaystyle{ \frac{y}{x^{2}+y^{2} }}\)

Nie chce gotowych odpowiedzi, tylko jakieś wskazówki ;D Z góry bardzo dziękuję.-- 11 lis 2012, o 23:10 --Proszę o jakąś wskazówkę

[octahedron]

Rozumiem, że w a) ten nawias to moduł?

\(\displaystyle{ \left| \frac{z+1}{z-1}\right|\ge 1\\\\
|z-(-1)|\ge |z-1|}\)

więc chodzi o punkty, które leżą nie dalej od \(\displaystyle{ 1}\) niż od \(\displaystyle{ -1}\), czyli prawa półpłaszczyzna razem z osią urojoną

b)
\(\displaystyle{ 0\le\Re\frac{i}{z}<1\\\\
0\le-\Im\frac{1}{z}<1\\\\
0\le\frac{\Im z}{(\Re z)^2+(\Im z)^2}<1\\\\
0\le \Im z<(\Re z)^2+(\Im z)^2\\\\
\begin{cases}0\le \Im z\\(\Re z)^2+(\Im z)^2>\Im z\end{cases}\\\\
\begin{cases}0\le \Im z\\(\Re z)^2+\left(\Im z-\frac{1}{2}\right)^2>\frac{1}{4}\end{cases}}\)

czyli zewnętrze koła o środku \(\displaystyle{ \frac{1}{2}i}\) i promieniu \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) powyżej osi rzeczywistej, razem z tą osią

c)
\(\displaystyle{ |z|+\Im z\ge 1\\\\
\sqrt{(\Re z)^2+(\Im z)^2}\ge 1-\Im z\\\\}\)

dla \(\displaystyle{ \Im z\ge 1}\) nierówność jest zawsze spełniona, pozostaje przypadek
\(\displaystyle{ \begin{cases}\Im z<1\\ (\Re z)^2+(\Im z)^2\ge (1-\Im z)^2\end{cases}\\\\
\begin{cases}\Im z<1\\ \Im z\ge \frac{1}{2}-\frac{1}{2}(\Re z)^2\end{cases}\\\\}\)

[Iskath]

Strasznie skomplikowane te odpowiedzi. Mógłbyś wytłumaczyć co gdzie się stało, korzystałes z jakiś twierdzeń itd., które niestety nie są mi znane. A co do przykładu a), tak tam jest moduł, tylko coś mi w tej odpowiedzi nie pasuje.-- 12 lis 2012, o 17:20 --Błąd a) wynika pewnie z tego że zamieniłes mianownik z licznikiem

[octahedron]

A tak, jest odwrotnie. A korzystałem tylko z tych wzorów:

\(\displaystyle{ z=\Re z+i \cdot \Im z\\
|z|=\sqrt{(\Re z)^2+(\Im z)^2}}\)

[snd0cff]

mozesz objasnic to przejscie:
\(\displaystyle{ 0 \le \Re \frac{i}{z} <1}\)
\(\displaystyle{ 0 \le -\Im \frac{1}{z} <1}\)

[Iskath]

No właśnie ;p Przepraszam za absencje, ale nie mialem dostepu do neta

[octahedron]

To wynika stąd:

\(\displaystyle{ z=x+iy\\
iz=ix-y\\
\Re(iz)=-y=-\Im(z)}\)