postać wykładnicza rownania

[snd0cff]

Jak zabrac sie za tego typu zadania?
Bo nie mam specjalnego pomyslu...
\(\displaystyle{ z ^{4} {+z=0}\)
\(\displaystyle{ z ^{3}=(iz+1) ^{3}}\)

[inata]

Podstaw \(\displaystyle{ z = ai + b}\)

[snd0cff]

i do 4 potegi mam to podnosic?

[777Lolek]

ee.. a nie \(\displaystyle{ a+bi}\) ? -- 8 lis 2012, o 21:42 --\(\displaystyle{ z^4 + z = 0 \Leftrightarrow z(z^3 + 1)=0 \Rightarrow z=0 \vee z^3 + 1 = 0}\)

[inata]

A co za różnica? Dodawanie jeszcze wczoraj było przemienne

[snd0cff]

podstawiajac \(\displaystyle{ a+bi}\) nie za fajne liczby wychodza...
tutaj trzeba uzyc postaci wykladniczej, tylko nie bardzo wiem jak

[inata]

I raczej nie da się tego łatwo przekształcić. Możesz sobie pomóc wzorami skróconego mnożenia.
Btw. wyniki które wyrzuca Mathematica dla b):
\(\displaystyle{ z = \frac{1}{2} \left( (-2+i)+ \sqrt{3}\right)}\)
\(\displaystyle{ z = \frac{1}{2} \left((-2+i)-\sqrt{3}\right)}\)
\(\displaystyle{ z = \frac{1}{2} + \frac{i}{2}}\)

[Dasio11]

2. \(\displaystyle{ z^3 = (\mathrm iz+1)^3}\)

Jeśli \(\displaystyle{ z=0,}\) to \(\displaystyle{ \mathrm iz+1 =1}\) i równanie jest niespełnione.
Jeśli \(\displaystyle{ z \neq 0,}\) to równanie przekształcamy równoważnie:

\(\displaystyle{ 1^3 = \left( \frac{\mathrm iz+1}{z} \right)^3.}\)

Podstawiamy \(\displaystyle{ w=\frac{\mathrm iz+1}{z}}\) i rozwiązujemy

\(\displaystyle{ w^3=1.}\)

Dla rozwiązań \(\displaystyle{ w_0, w_1, w_2}\) równanie

\(\displaystyle{ 1^3 = \left( \frac{\mathrm iz+1}{z} \right)^3}\)

będzie równoważne z alternatywą

\(\displaystyle{ \frac{\mathrm iz+1}{z} = w_0 \vee \frac{\mathrm iz+1}{z} = w_1 \vee \frac{\mathrm iz+1}{z} = w_2.}\)

(czemu?)