Wykaż, że mnożenie liczb zespolonych

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Fikra
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 10 paź 2012, o 20:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krk

Wykaż, że mnożenie liczb zespolonych

Post autor: Fikra »

Proszę udowodnić, że mnożenie liczb zespolonych polega na pomnożeniu ich wartości
bezwzględnych i dodaniu argumentów.

Proszę sprawdzić, że
\(\displaystyle{ z = r(\cos \phi + i \sin \phi) .}\)

Bardzo, bardzo proszę o pomoc.
Ostatnio zmieniony 7 lis 2012, o 13:11 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
sympatia17
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 179
Rejestracja: 8 sty 2012, o 12:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 3 razy

Wykaż, że mnożenie liczb zespolonych

Post autor: sympatia17 »

Założenie: \(\displaystyle{ z_{1}=r_{1}\left( \cos\phi_{1}+i\sin\phi_{1}\right)}\), \(\displaystyle{ z_{2}=r_{2}\left( \cos\phi_{2}+i\sin\phi_{2}\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ r_{1} \ge 0}\), \(\displaystyle{ r_{2} \ge 0}\), \(\displaystyle{ \phi_{1}, \phi_{2} \in \mathbb{R}}\)
Teza: \(\displaystyle{ z_{1} \cdot z_{2}= r_{1} \cdot r_{2}\left( \cos\left( \phi_{1}+\phi_{2}\right) + i\sin\left( \phi_{1}+\phi_{2}\right) \right)}\)
Dowód:
\(\displaystyle{ z_{1} \cdot z_{2} = r_{1}\left( \cos\phi_{1} + i\sin\phi_{1}\right) \cdot r_{2}\left( \cos\phi_{2} + i\sin\phi_{2}\right)}\) = \(\displaystyle{ r_{1}r_{2} \left( \cos\phi_{1}\cos\phi_{2} + \cos\phi_{1}i\sin\phi_{2} + i\sin\phi_{1}\cos\phi_{2} + i^{2}\sin\phi_{1}\sin\phi_{2}\right)}\) = \(\displaystyle{ r_{1}r_{2}\left[\cos\phi_{1}\cos\phi_{2} - \sin\phi_{1}sin\phi_{2} + i\left( \sin\phi_{1}\cos\phi_{2} + \cos\phi_{1}\sin\phi_{2} \right) \right]}\) = \(\displaystyle{ r_{1}r_{2}\left( \cos\left( \phi_{1}+\phi_{2}\right) + i\sin\left( \phi_{1} + \phi_{2}\right)\right)}\)
Fikra
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 10 paź 2012, o 20:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krk

Wykaż, że mnożenie liczb zespolonych

Post autor: Fikra »

No dobrze, zdaje się że rozumiem. A co z tym"
Proszę udowodnić, że mnożenie liczb zespolonych polega na pomnożeniu ich wartości
bezwzględnych i dodaniu argumentów.? Any ideas?
777Lolek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1053
Rejestracja: 20 wrz 2012, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: podWarszawie
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 208 razy

Wykaż, że mnożenie liczb zespolonych

Post autor: 777Lolek »

No to nie wiem, czy rozumiesz. Koleżanka właśnie to udowodniła.
Fikra
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 10 paź 2012, o 20:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krk

Wykaż, że mnożenie liczb zespolonych

Post autor: Fikra »

Ano ta. Mój fail.
ODPOWIEDZ