funkcja klasy S1

[aska2764]

Witam,
mam problem ze zrozumieniem zadania które rozwiązywaliśmy na zajęciach, nie wiem co się skąd bierze i dlaczego. Czy mógłby mi ktoś je wytłumaczyć?

zad. Sprawdzić czy funkcja Kebego \(\displaystyle{ k(z)= \frac{z}{(1-z)^{2}}}\) jest klasy \(\displaystyle{ S_1}\).

rozw.
\(\displaystyle{ \frac{1}{1-z}= \sum_{n=0}^{ \infty } z^n}\)

\(\displaystyle{ \left( \sum_{n=0}^{ \infty }a_n z^n \right)\left( \sum_{k=0}^{ \infty } b_k z^k\right)= \sum_{n=0, k=0}^{ \infty }a_n b_k z^{n+k}= \sum_{l=0}^{ \infty }\left( \sum_{n=0}^{l} a_n b_{l-n}\right)z^l= a_0b_0+\left( a_0b_1+a_1b_0\right)z+\left( a_0b_2+ a_1b_1+a_2b_0\right)z^2+ \dots}\)

\(\displaystyle{ \left( \sum_{n=0}^{ \infty } z^n\right)^2 = \sum_{n=0}^{ \infty }\left( n+1 \right)z^n}\)

za \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } z^n}\) wstawiamy \(\displaystyle{ \frac{1}{1-z}}\)
\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{1-z}\right)^2 = \sum_{n=1}^{ \infty } nz^{n-1}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{\left( 1-z\right)^2 }= \sum_{n=1}^{ \infty } nz^{n-1}}\)

obustronnie mnożymy przez \(\displaystyle{ z}\)
\(\displaystyle{ \frac{z}{\left( 1-z\right)^2 }= \sum_{n=1}^{ \infty } nz^{n}= z+ \sum_{n=2}^{ \infty } nz^{n}}\)

Z tego wiemy, że funkcja jest analityczna i unormowana klasycznie.
Należy jezcze sprawdzić różnowartościowość funkcji \(\displaystyle{ k(z)= \frac{z}{(1-z)^{2}}}\) (to już jest proste więc nie będę tego zapisywać).

Skąd się biorą pierwsze równanie i drugie? Skąd wiemy, że musimy wziąść iloczyn dwóch sum ? Pomóżcie zrozumieć

[Dasio11]

Pierwsza równość to rozwinięcie funkcji \(\displaystyle{ \frac{1}{1-z}}\) w szereg Taylora, a zrobione jest to za pomocą wzoru na sumę szeregu geometrycznego.
Druga równość to przypuszczalnie przywołanie twierdzenia, że jeśli szeregi

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} A_n}\) oraz \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} B_n}\)

są zbieżne bezwzględnie, to iloczyn Cauchy'ego szeregów - szereg

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} \left( \sum_{k=0}^n A_k B_{n-k} \right)}\)

jest zbieżny do tej samej sumy. Użyte jest ono do trzeciej równości, by rozwinąć funkcję \(\displaystyle{ \frac{1}{(1-z)^2}}\) w szereg Taylora.
Skąd wiemy? Nie wiadomo. Autor rozwiązania wymyślił, że to działa.

[aska2764]

Aha, dzięki za pomoc już mniej więcej wiem o co chodzi, jescze trochę nad tym posiedzę i jeszcze raz dogłębnie próbuję je przeanalizować