Pierwiastki liczb zespolonych

[Daanieeel]

Witam piszę tutaj ponieważ przestałem sobie radzić z matematyką. W szkole średniej nie miałem z nią wiekszych problemów, jednak od tego roku rozpoczełem studia na kierunku logistyki i tu się zaczyna problem. Wykładowca z którym mam zajęcia jest ruskiem przez co 90% studentów w połowie nie rozumie tego co mówi oraz pisze ponieważ robi to pół na pół po polsku i po rosyjsku. Z macierzami jakoś sobie poradziłem. Jednak jednorodny system liniowy mnie poprostu zagiął :// niektóre rzeczy ogarniam ale niektóre nie wiem skąd sie biorą ;// szukam kogoś kto by mi pomógł i ewentualnie sprawdził mi jakieś zadania i dał nowe. To co robimy teraz na zajęciach nawet nie wiem jak się nazywa O.o

Aktualny problem:

Mamy takie zadanie bez zadnej tresci bez oblicz bez wyznacz poprostu zapisane.

np: \(\displaystyle{ x^{5}=32}\)<to mamy podane
\(\displaystyle{ x=\sqrt[5]{32}}\)
\(\displaystyle{ x=2}\) <to jasne xD
\(\displaystyle{ \sqrt[5]{32}(\cos 0 + i\sin 0)}\) dalej rozumiem jak się rozwiązuje ale tutaj mam problem skad sie bierze to \(\displaystyle{ \cos 0}\)?? dlaczego \(\displaystyle{ 0}\)? dlaczego czasami \(\displaystyle{ \pi /2}\) itp?? skad sie to bierze i przy okazji jak to wszystko sie nazywa? to są pierwiastki liczb zespolonych?? i jak ktoś ma jakieś inne takie nie skomplikowane przyklady to chetnie bym poprostił tutaj rozwiązał i oddał do sprawdzenia. mam jeszcze zadanie które potem rozpisze na kartce i wkleje może ktoś mi to wytłumaczy

[Glo]

Popatrz. Masz do rozwiązania wielomian, czyli to równanie, które zapisałeś. W liczbach zespolonych, każdy wielomian stopnia n ma dokładnie n pierwiastków. Nie zmieniając niczego w równaniu, możesz napisać:

\(\displaystyle{ x^5=32e^{2k\pi i}}\)

ponieważ dla dowolnego k \(\displaystyle{ e^{2k\pi i}}\) jest równe \(\displaystyle{ 1.}\) Dlaczego? Zapisz to w postaci trygonometrycznej:

\(\displaystyle{ e^{2k\pi i}=\cos (2k\pi ) + i\sin (2k\pi )}\)

Sinus się zawsze zeruje, cosinus zawsze równy \(\displaystyle{ 1,}\) czyli tak jak chcieliśmy. Zauważ teraz, że możemy spierwiastkować równanie aby otrzymać:

\(\displaystyle{ x=2e^{\frac{2k\pi i}{5}}}\)

I podstawiając kolejne \(\displaystyle{ k}\) i zmieniając do postaci trygonometrycznej otrzymamy kolejne rozwiązania równania, w szczególności dla k=0\(\displaystyle{ }\) otrzymamy rozwiązanie, które jest w Twoim poście. Stąd zero. Ale nie musi być zero - podstawiając np. \(\displaystyle{ k=1}\) otrzymasz:

\(\displaystyle{ x=2e^{\frac{2\pi i}{5}}=2 \left( \cos \left( \frac{2}{5}\pi \right) +i\sin \left( \frac{2}{5} \pi \right) \right)}\)

I tak dalej. W pewnym momencie pierwiastki zaczną się powtarzać (dla \(\displaystyle{ k=5}\) dostaniesz to samo, co dla \(\displaystyle{ k=0}\)), gdyż mamy tylko \(\displaystyle{ 5}\) pierwiastków tego równania.