Zapisz w postaci trygonometrycznej.

[Sochini]

Witam. Po wielu próbach zapisania tych zadań w postaci trygonometrycznej postanowiłem sięgnąć po wasze rady. Oto i owe zadania:

a) \(\displaystyle{ 1+\cos \alpha +i\sin \alpha}\), \(\displaystyle{ - \pi \le \alpha \le \pi}\)

b) \(\displaystyle{ \frac{1+i\tg \alpha}{1-i\tg \alpha}, 0 \le \alpha < \frac{\pi}{2}}\)

W pierwszym doszedłem do wartości modułu, która do niczego mnie nie doprowadza. Drugiego nie wiem jak ugryźć. Macie jakieś wskazówki?

[octahedron]

\(\displaystyle{ 1+\cos\alpha+i\sin\alpha=1+2\cos^2\frac{\alpha}{2}-1+2i\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}=2\cos\frac{\alpha}{2}\left( \cos\frac{\alpha}{2}+i\sin\frac{\alpha}{2}\right)\\\\
\frac{1+i\tan \alpha}{1-i\tan \alpha}=\frac{1+i\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{1-i\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}=\frac{\cos\alpha+i\sin\alpha}{\cos\alpha-i\sin\alpha}=\frac{\cos\alpha+i\sin\alpha}{\cos(-\alpha)+i\sin(-\alpha)}=\\\\=\cos(\alpha-(-\alpha))+i\sin(\alpha-(-\alpha))=\cos 2\alpha+i\sin 2\alpha}\)