Rozwiąż równanie w zbiorze liczb zespolonych

[sYa_TPS]

\(\displaystyle{ z^{3}-iz+z-i=0}\)

Mam potraktować \(\displaystyle{ z}\) jak \(\displaystyle{ x}\) w równaniach wielomianowych? Jeżeli tak, to pierwiastkami może być \(\displaystyle{ i}\) lub \(\displaystyle{ -i}\) ? Z moich obliczeń wynika, że żaden z nich nie pasuje. Więc co robić?

[lackiluck1]

Nie zgubiłeś może kwadratu przy \(\displaystyle{ -iz}\)?

[sYa_TPS]

Nie, ale Pani doktor prowadząca ćwiczenia w komentarzu do odpowiedzi do tego podpunktu napisała, że proponuje \(\displaystyle{ z^{3}+z^{2}-iz-i=0}\), ale tamten podpunkt też da się zrobić.

[lel1101]

\(\displaystyle{ z^{3}-iz+z-i=(z^{3}+z)+i(-z-1)=0}\)
Tak więc zarówno część rzeczywista jak i urojona musi być równa 0.
Czyli:
\(\displaystyle{ \begin{cases} z^{3}+z=0\\-z-1=0\end{cases}}\)
Rozwiązanie tego układy jest rozwiązaniem zadania.

[sYa_TPS]

\(\displaystyle{ z^{3}-iz+z-i=(z^{3}+z)+i(-z-1)=0}\)
Tak więc zarówno część rzeczywista jak i urojona musi być równa 0.
Czyli:
\(\displaystyle{ \begin{cases} z^{3}+z=0\\-z-1=0\end{cases}}\)
Rozwiązanie tego układy jest rozwiązaniem zadania.

Ten układ jest sprzeczny.

[lackiluck1]

Można podstawić \(\displaystyle{ z = a + ib}\) i dopiero wtedy przyrównać część rzeczywistą i urojoną do zera

[lel1101]

\(\displaystyle{ z ^{3}+z=z(z ^{2}+1)=0 \Rightarrow z=0 \cup z ^{2}=-1 \Rightarrow z=i}\)

[marika331]

Ale z=i nie spełnia równania!