udowodnić równanie i własności

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
michal422

udowodnić równanie i własności

Post autor: michal422 »

Zad.1
Jeżeli \(\displaystyle{ \left| z\right| =1}\), udowodnić że \(\displaystyle{ \frac{az+b}{\bar{b}z+\bar{a} }=1}\) dla dowolnych \(\displaystyle{ a,b \in \mathbb{C}}\)

Zad.2
Pokazać,że prawdziwe są własności:
1)\(\displaystyle{ \left| z^{n} \right| = \left| z\right| ^{n}}\),
2)\(\displaystyle{ \left| z\right| ^{2}= z \cdot \bar{z}}\),
3)\(\displaystyle{ \left| Rez\right| \le \left| z\right|}\),
4)\(\displaystyle{ \left| Imz\right| \le \left| z\right|}\),
5)\(\displaystyle{ \left| z\right| \le \left| Rez\right|+\left| Imz\right|}\).
Ostatnio zmieniony 3 lis 2012, o 16:18 przez Sylwek, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
miodzio1988

udowodnić równanie i własności

Post autor: miodzio1988 »

gdzie tutaj pojawiają się problemy? Tak konkretnie
michal422

udowodnić równanie i własności

Post autor: michal422 »

Zad.1
\(\displaystyle{ \frac{az+b}{\bar{b}z+\bar{a} }= \frac{\left| az+b\right| }{\left| \bar{b}z+ \bar{a}\right| } \le \frac{\left| az\right|+\left| b\right| }{\left| \bar{b}z\right|+\left| \bar{a}\right| } = \frac{\left| a\right|\left| z\right| +\left| b\right| }{\left| \bar{b}\right|\left| z\right|+\left| \bar{a}\right| } = \frac{\left| a\right|\left| z\right| + \left| b\right| }{\left| b\right| \left| z\right| +\left| a\right| }}\)
a skoro \(\displaystyle{ \left| z\right|=1}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \frac{\left| a\right|+\left| b\right| }{\left| b\right|+\left| a\right| } =1}\)


Zad. 2
2)\(\displaystyle{ z \cdot \bar{z}=\left| z\right| ^2}\)
\(\displaystyle{ z=x+iy}\)
\(\displaystyle{ \bar{z}=x-iy}\)
\(\displaystyle{ z \cdot \bar{z}=(x+iy)(x-iy)=( x^{2} + y^{2} )+i(yx-yx)= x^{2} + y^{2}}\)
skoro \(\displaystyle{ \left| z\right|= \sqrt{ x^{2}+ y^{2} }}\) to \(\displaystyle{ \left| z\right|^2= x^{2} + y^{2}}\)
czy dobrze rozumuję?
ODPOWIEDZ