Rozwiąż równania, wyznaczając niewiadomą z

[sYa_TPS]

\(\displaystyle{ |z-1|+\overline{z}=3}\)

Jak się za to zabrać? Czy \(\displaystyle{ |z-1| = \sqrt{x^{2}+y{2}-1}}\)?

[miodzio1988]

Nie. Moduł źle policzony

[sYa_TPS]

\(\displaystyle{ \sqrt{x^{2}+y^{2}} -1}\)?

[miodzio1988]

też nie. Nie zgaduj tylko wzynacz część urojoną i rzeczywistą

[sYa_TPS]

\(\displaystyle{ \sqrt{(x-1)^{2}-y^{2}}}\)?

[miodzio1988]

No wreszcie. I co tam dalej?

[sYa_TPS]

\(\displaystyle{ |z-1|+\overline{z}=3}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{(x-1)^{2}-y^{2}}=3+\overline{z}/\left( \right)^{2}}\)

\(\displaystyle{ (x-1)^{2}-y^{2}=(3+\overline{z})^{2}}\)

\(\displaystyle{ (x-1)^{2}-y^{2}=9+6\overline{z}+\overline{z}^{2}}\)

\(\displaystyle{ x^{2}-2x+1-y^{2}=9+6(x-y)+(x-y)^{2}}\)

\(\displaystyle{ x^{2}-2x+1-y^{2}=9+6x-6y+x^{2}-2xy+y^{2}}\)

\(\displaystyle{ -2x+1-2y^{2}=9+6x-6y-2xy}\)

\(\displaystyle{ -2x-2y^{2}-6x+6y+2xy=8}\)

I co dalej?

[Dasio11]

\(\displaystyle{ \sqrt{(x-1)^{2}-y^{2}}}\)?

Wciąż źle.
Można zadanie trochę uprościć. W równości

\(\displaystyle{ |z-1| + \overline z = 3}\)

prawa strona ma zerową część urojoną, więc lewa też musi mieć. Część urojona \(\displaystyle{ |z-1|}\) wynosi zero, więc tak samo musi być z liczbą \(\displaystyle{ \overline z.}\) Wynika stąd, że

\(\displaystyle{ z=x + 0 \mathrm i}\)

dla pewnego \(\displaystyle{ x \in \RR,}\) czyli no powiedzmy, że \(\displaystyle{ z \in \RR.}\)