Rozwiązanie równania - liczby zespolone

[Kaef]

Mam problem ze zrozumieniem zadania - proszę początkowo o naprowadzenie i wytłumaczenie, co autor miał na myśli.

Rozwiązać równanie o zmiennej \(\displaystyle{ z \in C}\) (podstawiając za \(\displaystyle{ z = x + yi)}\):

a) \(\displaystyle{ z ^{2} = i}\)
b) \(\displaystyle{ z ^{2} = 1 - i}\)
c) \(\displaystyle{ z ^{2} = -3}\)

Liczbę \(\displaystyle{ z \in C}\) taką, że \(\displaystyle{ z ^{2} = w}\) dla pewnej liczby zespolonej \(\displaystyle{ w}\) będziemy nazywać pierwiastkiem drugiego stopnia z liczby \(\displaystyle{ w}\). Co można zaobserwować o pierwiastkach kwadatowych z liczby zespolonej?




Doszłam tylko i wyłącznie do tego, że za każdym razem pojawia mi się układ równań postaci:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x ^{2} - y ^{2} = costam \\ 2xy = costam \end{cases}}\)

Nie mogę ruszyć od tego miejsca, w ogóle nie trybię, o co chodzi.

[inata]

a)
\(\displaystyle{ x ^{2} - y ^{2} +2xyi = i}\)
czyli
\(\displaystyle{ \begin{cases} x ^{2} - y ^{2} = 0\\2xy = 1\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x ^{2} - y ^{2} = 0\\x = \frac{1}{2y} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{1}{4y^{2}} - y ^{2} = 0\\x = \frac{1}{2y} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} y^{4} = \frac{1}{4} \\x = \frac{1}{2y} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x = \pm \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ y = \pm \frac{ \sqrt{2} }{2} \end{cases}}\)

b)
to samo tylko pod \(\displaystyle{ y ^{2}}\) podstawiasz \(\displaystyle{ t}\) i rozwiązujesz równanie kwadratowe
c)
najpierw pod \(\displaystyle{ x}\) podstawiasz zero i rozwiązujesz, a potem pod \(\displaystyle{ y}\)

[Kaef]

Okej, a później te wyniki podstawiam pod \(\displaystyle{ z = x + yi}\)? I skąd mam wiedzieć, czy wybrać ten dodatni, czy ujemny?
Co można zauważyć w ten sposób?

[inata]

Tak podstawiasz i masz, dla a) dwa wyniki:
\(\displaystyle{ z = \frac{ \sqrt{2} }{2} + \frac{ \sqrt{2} }{2} }i}\) oraz \(\displaystyle{ z = -\frac{ \sqrt{2} }{2} - \frac{ \sqrt{2} }{2}i}\)
To są po prostu rozwiązania zadanego równania

[Kaef]

Jeszcze jedno pytanie - dlaczego w pierwszym \(\displaystyle{ z}\) jest \(\displaystyle{ 2i}\)? Pomyłka?

[inata]

Racja, literówka. Już poprawiłem

[Kaef]

A mógłbyś rozwiązać mi jeszcze to drugie równanie? Bo ni jak wychodzą mi dziwactwa


Co do trzeciego - wynikiem będzie \(\displaystyle{ z = \sqrt{3}i \vee z = - \sqrt{3}i}\)?

[inata]

\(\displaystyle{ \begin{cases} x ^{2} - y ^{2} = 1\\2xy = -1\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{1}{4y^{2}} - y ^{2} = 1\\x = -\frac{1}{2y} \end{cases}}\)
Podstawiam \(\displaystyle{ t = y ^{2}}\) i przemnażam przez \(\displaystyle{ t}\) (zał. \(\displaystyle{ t \ge 0}\))
zostaje do rozwiązania \(\displaystyle{ t ^{2} + t - \frac{1}{4}}\) , które ma tylko jeden pierwiastek dodatni \(\displaystyle{ t = \frac{ \sqrt{2} - 1}{2}}\)
Wyliczasz kolejno \(\displaystyle{ y}\) i \(\displaystyle{ x}\) i dostajesz wynik. Tylko nie pomyl się w znakach.

[Kaef]

Okej. A wynik tego trzeciego jest ok?