Rozwiązanie równania - liczby zespolone
-
- Użytkownik
- Posty: 177
- Rejestracja: 27 lis 2011, o 14:52
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2 razy
Rozwiązanie równania - liczby zespolone
Mam problem ze zrozumieniem zadania - proszę początkowo o naprowadzenie i wytłumaczenie, co autor miał na myśli.
Rozwiązać równanie o zmiennej \(\displaystyle{ z \in C}\) (podstawiając za \(\displaystyle{ z = x + yi)}\):
a) \(\displaystyle{ z ^{2} = i}\)
b) \(\displaystyle{ z ^{2} = 1 - i}\)
c) \(\displaystyle{ z ^{2} = -3}\)
Liczbę \(\displaystyle{ z \in C}\) taką, że \(\displaystyle{ z ^{2} = w}\) dla pewnej liczby zespolonej \(\displaystyle{ w}\) będziemy nazywać pierwiastkiem drugiego stopnia z liczby \(\displaystyle{ w}\). Co można zaobserwować o pierwiastkach kwadatowych z liczby zespolonej?
Doszłam tylko i wyłącznie do tego, że za każdym razem pojawia mi się układ równań postaci:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x ^{2} - y ^{2} = costam \\ 2xy = costam \end{cases}}\)
Nie mogę ruszyć od tego miejsca, w ogóle nie trybię, o co chodzi.
Rozwiązać równanie o zmiennej \(\displaystyle{ z \in C}\) (podstawiając za \(\displaystyle{ z = x + yi)}\):
a) \(\displaystyle{ z ^{2} = i}\)
b) \(\displaystyle{ z ^{2} = 1 - i}\)
c) \(\displaystyle{ z ^{2} = -3}\)
Liczbę \(\displaystyle{ z \in C}\) taką, że \(\displaystyle{ z ^{2} = w}\) dla pewnej liczby zespolonej \(\displaystyle{ w}\) będziemy nazywać pierwiastkiem drugiego stopnia z liczby \(\displaystyle{ w}\). Co można zaobserwować o pierwiastkach kwadatowych z liczby zespolonej?
Doszłam tylko i wyłącznie do tego, że za każdym razem pojawia mi się układ równań postaci:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x ^{2} - y ^{2} = costam \\ 2xy = costam \end{cases}}\)
Nie mogę ruszyć od tego miejsca, w ogóle nie trybię, o co chodzi.
-
- Użytkownik
- Posty: 40
- Rejestracja: 31 paź 2012, o 15:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Krk
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 5 razy
Rozwiązanie równania - liczby zespolone
a)
\(\displaystyle{ x ^{2} - y ^{2} +2xyi = i}\)
czyli
\(\displaystyle{ \begin{cases} x ^{2} - y ^{2} = 0\\2xy = 1\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x ^{2} - y ^{2} = 0\\x = \frac{1}{2y} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{1}{4y^{2}} - y ^{2} = 0\\x = \frac{1}{2y} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} y^{4} = \frac{1}{4} \\x = \frac{1}{2y} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x = \pm \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ y = \pm \frac{ \sqrt{2} }{2} \end{cases}}\)
b)
to samo tylko pod \(\displaystyle{ y ^{2}}\) podstawiasz \(\displaystyle{ t}\) i rozwiązujesz równanie kwadratowe
c)
najpierw pod \(\displaystyle{ x}\) podstawiasz zero i rozwiązujesz, a potem pod \(\displaystyle{ y}\)
\(\displaystyle{ x ^{2} - y ^{2} +2xyi = i}\)
czyli
\(\displaystyle{ \begin{cases} x ^{2} - y ^{2} = 0\\2xy = 1\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x ^{2} - y ^{2} = 0\\x = \frac{1}{2y} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{1}{4y^{2}} - y ^{2} = 0\\x = \frac{1}{2y} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} y^{4} = \frac{1}{4} \\x = \frac{1}{2y} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x = \pm \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ y = \pm \frac{ \sqrt{2} }{2} \end{cases}}\)
b)
to samo tylko pod \(\displaystyle{ y ^{2}}\) podstawiasz \(\displaystyle{ t}\) i rozwiązujesz równanie kwadratowe
c)
najpierw pod \(\displaystyle{ x}\) podstawiasz zero i rozwiązujesz, a potem pod \(\displaystyle{ y}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 177
- Rejestracja: 27 lis 2011, o 14:52
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2 razy
Rozwiązanie równania - liczby zespolone
Okej, a później te wyniki podstawiam pod \(\displaystyle{ z = x + yi}\)? I skąd mam wiedzieć, czy wybrać ten dodatni, czy ujemny?
Co można zauważyć w ten sposób?
Co można zauważyć w ten sposób?
-
- Użytkownik
- Posty: 40
- Rejestracja: 31 paź 2012, o 15:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Krk
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 5 razy
Rozwiązanie równania - liczby zespolone
Tak podstawiasz i masz, dla a) dwa wyniki:
\(\displaystyle{ z = \frac{ \sqrt{2} }{2} + \frac{ \sqrt{2} }{2} }i}\) oraz \(\displaystyle{ z = -\frac{ \sqrt{2} }{2} - \frac{ \sqrt{2} }{2}i}\)
To są po prostu rozwiązania zadanego równania
\(\displaystyle{ z = \frac{ \sqrt{2} }{2} + \frac{ \sqrt{2} }{2} }i}\) oraz \(\displaystyle{ z = -\frac{ \sqrt{2} }{2} - \frac{ \sqrt{2} }{2}i}\)
To są po prostu rozwiązania zadanego równania
Ostatnio zmieniony 2 lis 2012, o 11:31 przez inata, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 177
- Rejestracja: 27 lis 2011, o 14:52
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2 razy
Rozwiązanie równania - liczby zespolone
A mógłbyś rozwiązać mi jeszcze to drugie równanie? Bo ni jak wychodzą mi dziwactwa
Co do trzeciego - wynikiem będzie \(\displaystyle{ z = \sqrt{3}i \vee z = - \sqrt{3}i}\)?
Co do trzeciego - wynikiem będzie \(\displaystyle{ z = \sqrt{3}i \vee z = - \sqrt{3}i}\)?
-
- Użytkownik
- Posty: 40
- Rejestracja: 31 paź 2012, o 15:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Krk
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 5 razy
Rozwiązanie równania - liczby zespolone
\(\displaystyle{ \begin{cases} x ^{2} - y ^{2} = 1\\2xy = -1\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{1}{4y^{2}} - y ^{2} = 1\\x = -\frac{1}{2y} \end{cases}}\)
Podstawiam \(\displaystyle{ t = y ^{2}}\) i przemnażam przez \(\displaystyle{ t}\) (zał. \(\displaystyle{ t \ge 0}\))
zostaje do rozwiązania \(\displaystyle{ t ^{2} + t - \frac{1}{4}}\) , które ma tylko jeden pierwiastek dodatni \(\displaystyle{ t = \frac{ \sqrt{2} - 1}{2}}\)
Wyliczasz kolejno \(\displaystyle{ y}\) i \(\displaystyle{ x}\) i dostajesz wynik. Tylko nie pomyl się w znakach.
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{1}{4y^{2}} - y ^{2} = 1\\x = -\frac{1}{2y} \end{cases}}\)
Podstawiam \(\displaystyle{ t = y ^{2}}\) i przemnażam przez \(\displaystyle{ t}\) (zał. \(\displaystyle{ t \ge 0}\))
zostaje do rozwiązania \(\displaystyle{ t ^{2} + t - \frac{1}{4}}\) , które ma tylko jeden pierwiastek dodatni \(\displaystyle{ t = \frac{ \sqrt{2} - 1}{2}}\)
Wyliczasz kolejno \(\displaystyle{ y}\) i \(\displaystyle{ x}\) i dostajesz wynik. Tylko nie pomyl się w znakach.