\(\displaystyle{ z^{6}= (3+i)^{12}}\)
Wyliczyłam dwa pierwiastki
\(\displaystyle{ z_{1}=8+6i
z_{2}=-8-6i}\)
aczkolwiek niezupełnie rozumiem, dlaczego 8 też jest ujemne w drugim rozwiązaniu.
Nie umiem obliczyć pozostałych pierwiastków, a wiem, ze takie istnieją. Byłabym wdzięczna, gdyby mógł mi ktoś pomóc...
funkcje zmiennej zespolonej, wielomiany, rozwiąż równanie
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
funkcje zmiennej zespolonej, wielomiany, rozwiąż równanie
Pierwiastków jest oczywiście sześć i łatwo zauważyć, że są postaci:
\(\displaystyle{ z_k=(3+i)^2\cdot \varepsilon_k}\) dla \(\displaystyle{ k=0,1,2,3,4,5}\)
gdzie \(\displaystyle{ \varepsilon_k}\) to pierwiastki szóstego stopnia z jedynki.
Q.
\(\displaystyle{ z_k=(3+i)^2\cdot \varepsilon_k}\) dla \(\displaystyle{ k=0,1,2,3,4,5}\)
gdzie \(\displaystyle{ \varepsilon_k}\) to pierwiastki szóstego stopnia z jedynki.
Q.
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
funkcje zmiennej zespolonej, wielomiany, rozwiąż równanie
Nie ma co zauważać - wystarczy sprawdzić, że dla danego \(\displaystyle{ u}\) rozwiązaniami równania
\(\displaystyle{ z^n=u^n}\)
są zawsze liczby postaci
\(\displaystyle{ z_k=u\cdot \varepsilon_k}\)
gdzie \(\displaystyle{ \varepsilon_k}\) to pierwiastki \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia z jedynki.
Sprawdzenie, że każda taka liczba spełnia równania jest natychmiastowe, oczywiste jest też, że więcej pierwiastków już być nie może.
Q.
\(\displaystyle{ z^n=u^n}\)
są zawsze liczby postaci
\(\displaystyle{ z_k=u\cdot \varepsilon_k}\)
gdzie \(\displaystyle{ \varepsilon_k}\) to pierwiastki \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia z jedynki.
Sprawdzenie, że każda taka liczba spełnia równania jest natychmiastowe, oczywiste jest też, że więcej pierwiastków już być nie może.
Q.