funkcje zmiennej zespolonej, wielomiany, rozwiąż równanie

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
pko
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 5 sty 2012, o 21:11
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: W-Wa

funkcje zmiennej zespolonej, wielomiany, rozwiąż równanie

Post autor: pko »

\(\displaystyle{ z^{6}= (3+i)^{12}}\)

Wyliczyłam dwa pierwiastki
\(\displaystyle{ z_{1}=8+6i

z_{2}=-8-6i}\)


aczkolwiek niezupełnie rozumiem, dlaczego 8 też jest ujemne w drugim rozwiązaniu.
Nie umiem obliczyć pozostałych pierwiastków, a wiem, ze takie istnieją. Byłabym wdzięczna, gdyby mógł mi ktoś pomóc...
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

funkcje zmiennej zespolonej, wielomiany, rozwiąż równanie

Post autor: »

Pierwiastków jest oczywiście sześć i łatwo zauważyć, że są postaci:
\(\displaystyle{ z_k=(3+i)^2\cdot \varepsilon_k}\) dla \(\displaystyle{ k=0,1,2,3,4,5}\)
gdzie \(\displaystyle{ \varepsilon_k}\) to pierwiastki szóstego stopnia z jedynki.

Q.
pko
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 5 sty 2012, o 21:11
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: W-Wa

funkcje zmiennej zespolonej, wielomiany, rozwiąż równanie

Post autor: pko »

Jak zauważyłeś, że wyniki są tej postaci?
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

funkcje zmiennej zespolonej, wielomiany, rozwiąż równanie

Post autor: »

Nie ma co zauważać - wystarczy sprawdzić, że dla danego \(\displaystyle{ u}\) rozwiązaniami równania
\(\displaystyle{ z^n=u^n}\)
są zawsze liczby postaci
\(\displaystyle{ z_k=u\cdot \varepsilon_k}\)
gdzie \(\displaystyle{ \varepsilon_k}\) to pierwiastki \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia z jedynki.

Sprawdzenie, że każda taka liczba spełnia równania jest natychmiastowe, oczywiste jest też, że więcej pierwiastków już być nie może.

Q.
ODPOWIEDZ