Witam.
Mam takie zadanko:
\(\displaystyle{ \left( 1 + i \right) ^{7} = \left( \sqrt{2} \right) ^{7} \cdot \left( \cos \frac{7 \pi}{4} + i \sin \frac{7 \pi}{4} \right)}\)
Do tego miejsca rozumiem, ale dalej w przykładzie dzieje się coś takiego:
\(\displaystyle{ = 8 \sqrt{2} \left(\cos \frac{\pi}{4} - i \sin \frac{\pi}{4} \right)}\)
Chodzi mi o działanie w nawiasie. Dlaczego siódemki znikają i skąd się bierze minus? Dalej..:
\(\displaystyle{ = 8 \sqrt{2} \left( \frac{ \sqrt{2} }{2} - i \frac{ \sqrt{2} }{2} \right) = 8 - 8i}\)
Potęga liczby zespolonej
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Potęga liczby zespolonej
Wynika to z okresowości obu funkcji, parzystości cosinusa i nieparzystości sinusa:
\(\displaystyle{ \cos \frac{7 \pi}{4}=\cos \left( \frac{7 \pi}{4} - 2\pi\right) =\cos \left( -\frac{\pi}{4} \right) =\cos \frac{\pi}{4}\\
\sin \frac{7 \pi}{4}=\sin \left( \frac{7 \pi}{4} - 2\pi\right) =\sin \left( -\frac{\pi}{4} \right) =-\sin\frac{\pi}{4}}\)
Q.
\(\displaystyle{ \cos \frac{7 \pi}{4}=\cos \left( \frac{7 \pi}{4} - 2\pi\right) =\cos \left( -\frac{\pi}{4} \right) =\cos \frac{\pi}{4}\\
\sin \frac{7 \pi}{4}=\sin \left( \frac{7 \pi}{4} - 2\pi\right) =\sin \left( -\frac{\pi}{4} \right) =-\sin\frac{\pi}{4}}\)
Q.