Potęga liczby zespolonej

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
kiler69
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 15 sty 2010, o 19:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 13 razy

Potęga liczby zespolonej

Post autor: kiler69 »

Witam.
Mam takie zadanko:
\(\displaystyle{ \left( 1 + i \right) ^{7} = \left( \sqrt{2} \right) ^{7} \cdot \left( \cos \frac{7 \pi}{4} + i \sin \frac{7 \pi}{4} \right)}\)
Do tego miejsca rozumiem, ale dalej w przykładzie dzieje się coś takiego:
\(\displaystyle{ = 8 \sqrt{2} \left(\cos \frac{\pi}{4} - i \sin \frac{\pi}{4} \right)}\)
Chodzi mi o działanie w nawiasie. Dlaczego siódemki znikają i skąd się bierze minus? Dalej..:
\(\displaystyle{ = 8 \sqrt{2} \left( \frac{ \sqrt{2} }{2} - i \frac{ \sqrt{2} }{2} \right) = 8 - 8i}\)
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Potęga liczby zespolonej

Post autor: »

Wynika to z okresowości obu funkcji, parzystości cosinusa i nieparzystości sinusa:
\(\displaystyle{ \cos \frac{7 \pi}{4}=\cos \left( \frac{7 \pi}{4} - 2\pi\right) =\cos \left( -\frac{\pi}{4} \right) =\cos \frac{\pi}{4}\\
\sin \frac{7 \pi}{4}=\sin \left( \frac{7 \pi}{4} - 2\pi\right) =\sin \left( -\frac{\pi}{4} \right) =-\sin\frac{\pi}{4}}\)


Q.
ODPOWIEDZ