jak rozwiazac takie rownanie

[mateuszf13]

\(\displaystyle{ \left|\frac{z-1}{z-2}\right|=2}\)

[Qń]

Podstaw \(\displaystyle{ z=x+iy}\).

Q.

[bb314]

podstaw
\(\displaystyle{ z=x+yi}\)

pomnóż licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika

\(\displaystyle{ |a|=\sqrt{\left(Re(a)\right)^2+\left(Im(a)\right)^2}}\)

[Qń]

pomnóż licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika

Jeśli chcesz mieć dużo rachunków, to skorzystaj z tej rady, natomiast jeśli wolisz szybciej dojść do odpowiedzi, to skorzystaj z faktu, że:
\(\displaystyle{ \left| \frac{z_1}{z_2}\right| =\frac{|z_1|}{|z_2|}}\)

Q.

[mateuszf13]

Nie ogarniam jak zastosowac ta wlasnosc

[Qń]

\(\displaystyle{ \left|\frac{z-1}{z-2}\right|=\frac{|z-1|}{|z-2|}}\)

Q.

[mateuszf13]

to, to wiem ale tam jeszcze ta 2 jest

[bb314]

\(\displaystyle{ \left|\frac{z-1}{z-2}\right|=\left|\frac{x+yi-1}{x+yi-2}\right|}=\frac{\left|x+yi-1\right|}{\left|x+yi-2\right|}=\frac{\sqrt{(x-1)^2+y^2}}{\sqrt{(x-2)^2+y^2}}}\)

\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{(x-1)^2+y^2}}{\sqrt{(x-2)^2+y^2}}=2}\)

[mateuszf13]

i koncowe rownanie ma byc :
\(\displaystyle{ 3x ^{2}-14x+15+3y ^{2}}\) ??

[bb314]

Prawie. Dokładnie to tak:
\(\displaystyle{ 3x ^{2}-14x+15+3y ^{2}=0}\)

ale to nie koniec
\(\displaystyle{ 3x ^{2}-14x+15+3y ^{2}=0\ \ /:3}\)
\(\displaystyle{ x ^{2}-\frac{14}{3}x+5+y ^{2}=0}\)
\(\displaystyle{ x ^{2}-2\cdot\frac{7}{3}x+\left( \frac73\right)^2-\left( \frac73\right)^2 +5+y ^{2}=0}\)
\(\displaystyle{ \left( x-\frac73\right)^2-\frac{49}{9}+5+y^2=0}\)
\(\displaystyle{ \left( x-\frac73\right)^2+y^2=\left( \frac23\right)^2}\)

zbiór rozwiązań \(\displaystyle{ z=x+yi}\) to okrąg o środku w \(\displaystyle{ \blue\left( \frac73,\ 0\right)}\) i promieniu \(\displaystyle{ \blue r=\frac23}\)