Wyznaczanie kąta w postaci trygonometrycznej
-
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 6 paź 2012, o 12:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
Wyznaczanie kąta w postaci trygonometrycznej
Czy mógłby ktoś mi wytłumaczyć jak się oblicza \(\displaystyle{ \phi}\)? Chodzi mi o proste zadania, gdy mam napisać liczbę w postaci trygonometrycznej. Nie wiem kiedy jest wartość jest ujemna a kiedy dodatnia.
Ostatnio zmieniony 26 paź 2012, o 19:37 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Staraj się lepiej dobierać nazwy tematów, tak by wskazywały o czym jest treść zadania.
Powód: Staraj się lepiej dobierać nazwy tematów, tak by wskazywały o czym jest treść zadania.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10226
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Wyznaczanie kąta w postaci trygonometrycznej
Aby przedstawić liczbę zespoloną \(\displaystyle{ z=x+\mathrm i y}\) w postaci trygonometrycznej, należy rozwiązać układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} \cos \varphi = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \\ \sin \varphi = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \end{cases}.}\)
Wiadomo, że układ ten ma dokładnie jedno rozwiązanie, z dokładnością do przesunięcia o \(\displaystyle{ 2 \pi.}\) Zdarza się, że to rozwiązanie łatwo zgadnąć. W tym celu warto na początek zerknąć na ćwiartkę, w której leży liczba zespolona, aby dowiedzieć się, do którego z czterech przedziałów
\(\displaystyle{ \left[0, \frac{1}{2} \pi \right], \ \left[ \frac{1}{2} \pi, \pi \right], \ \left[ \pi, \frac{3}{2} \pi \right], \ \left[ \frac{3}{2} \pi, 2 \pi \right]}\)
należy szukany kąt \(\displaystyle{ \varphi.}\)
Jeśli nie jest się w stanie odgadnąć kąta, to albo jest się niedostatecznie spostrzegawczym, albo też kąt tej liczby ma brzydką postać, tak jak w przypadku liczby
\(\displaystyle{ 3+4 \mathrm i.}\)
Wtedy można podzielić równania stronami (bo jeśli któraś strona była zerowa, to liczba leżała na jednej z osi i kąt dało się łatwo zgadnąć: był on wielokrotnością \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \pi}\) ):
\(\displaystyle{ \tg \varphi = \frac{\sin \varphi}{\cos \varphi} = \frac{\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}}{\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}} = \frac{y}{x},}\)
czyli
\(\displaystyle{ \varphi = \arctg \frac{y}{x}}\) lub \(\displaystyle{ \varphi = \arctg \frac{y}{x} \pm \pi,}\)
w zależności od ćwiartki. Wynik można, policzywszy go na kalkulatorze (w radianach!), podzielić przez \(\displaystyle{ \pi.}\) Jeśli wówczas nie wyszła liczba wymierna, to znaczy że jednak nie jest z naszą spostrzegawczością aż tak źle, tylko kąt jest naprawdę brzydki i nie ma ładniejszej postaci niż ta z \(\displaystyle{ \arctg.}\)
A jeśli otrzymana z dzielenia liczba \(\displaystyle{ q}\) jest wymierna, to można się chwilę powstydzić, że nie zauważyło się, że wyjściowy układ równań spełnia liczba
\(\displaystyle{ \varphi = q \pi,}\)
a następnie grzecznie udowodnić, że tak faktycznie jest.
\(\displaystyle{ \begin{cases} \cos \varphi = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \\ \sin \varphi = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \end{cases}.}\)
Wiadomo, że układ ten ma dokładnie jedno rozwiązanie, z dokładnością do przesunięcia o \(\displaystyle{ 2 \pi.}\) Zdarza się, że to rozwiązanie łatwo zgadnąć. W tym celu warto na początek zerknąć na ćwiartkę, w której leży liczba zespolona, aby dowiedzieć się, do którego z czterech przedziałów
\(\displaystyle{ \left[0, \frac{1}{2} \pi \right], \ \left[ \frac{1}{2} \pi, \pi \right], \ \left[ \pi, \frac{3}{2} \pi \right], \ \left[ \frac{3}{2} \pi, 2 \pi \right]}\)
należy szukany kąt \(\displaystyle{ \varphi.}\)
Jeśli nie jest się w stanie odgadnąć kąta, to albo jest się niedostatecznie spostrzegawczym, albo też kąt tej liczby ma brzydką postać, tak jak w przypadku liczby
\(\displaystyle{ 3+4 \mathrm i.}\)
Wtedy można podzielić równania stronami (bo jeśli któraś strona była zerowa, to liczba leżała na jednej z osi i kąt dało się łatwo zgadnąć: był on wielokrotnością \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \pi}\) ):
\(\displaystyle{ \tg \varphi = \frac{\sin \varphi}{\cos \varphi} = \frac{\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}}{\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}} = \frac{y}{x},}\)
czyli
\(\displaystyle{ \varphi = \arctg \frac{y}{x}}\) lub \(\displaystyle{ \varphi = \arctg \frac{y}{x} \pm \pi,}\)
w zależności od ćwiartki. Wynik można, policzywszy go na kalkulatorze (w radianach!), podzielić przez \(\displaystyle{ \pi.}\) Jeśli wówczas nie wyszła liczba wymierna, to znaczy że jednak nie jest z naszą spostrzegawczością aż tak źle, tylko kąt jest naprawdę brzydki i nie ma ładniejszej postaci niż ta z \(\displaystyle{ \arctg.}\)
A jeśli otrzymana z dzielenia liczba \(\displaystyle{ q}\) jest wymierna, to można się chwilę powstydzić, że nie zauważyło się, że wyjściowy układ równań spełnia liczba
\(\displaystyle{ \varphi = q \pi,}\)
a następnie grzecznie udowodnić, że tak faktycznie jest.
-
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 6 paź 2012, o 12:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
Wyznaczanie kąta w postaci trygonometrycznej
Jeszcze chcę się do końca upewnić. Obok tego tematu jest mój drugi, gdzie został rozwiązany pewien przykład i wyszło \(\displaystyle{ \phi = \frac{7}{4}\pi = \frac{-\pi}{4}}\). Czy moge wpisać oba wyniki w odpowiedzi? Jeżeli tak to czy każdą liczbę mogę 'przesuwać' o \(\displaystyle{ 2 \pi}\)? Jeżeli tak to dlaczego tylko w niektórych przypadkach zachodzi ta procedura? Chodzi mi o odpowiedzi do zadań.
Ostatnio zmieniony 26 paź 2012, o 19:38 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Indeks dolny to a_0.
Powód: Poprawa wiadomości. Indeks dolny to a_0.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10226
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Wyznaczanie kąta w postaci trygonometrycznej
Wystarczy jeden z tych wyników, ale oba naraz są dobre (lub oba złe ;p).
Tak, jeśli \(\displaystyle{ \varphi}\) jest kątem liczby zespolonej, to jej kątem są też liczby
\(\displaystyle{ \varphi +2k\pi}\) dla \(\displaystyle{ k \in \ZZ.}\)
Tak, jeśli \(\displaystyle{ \varphi}\) jest kątem liczby zespolonej, to jej kątem są też liczby
\(\displaystyle{ \varphi +2k\pi}\) dla \(\displaystyle{ k \in \ZZ.}\)