Wyznaczanie kąta w postaci trygonometrycznej

[Darek567]

Czy mógłby ktoś mi wytłumaczyć jak się oblicza \(\displaystyle{ \phi}\)? Chodzi mi o proste zadania, gdy mam napisać liczbę w postaci trygonometrycznej. Nie wiem kiedy jest wartość jest ujemna a kiedy dodatnia.

[Dasio11]

Aby przedstawić liczbę zespoloną \(\displaystyle{ z=x+\mathrm i y}\) w postaci trygonometrycznej, należy rozwiązać układ równań

\(\displaystyle{ \begin{cases} \cos \varphi = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \\ \sin \varphi = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \end{cases}.}\)

Wiadomo, że układ ten ma dokładnie jedno rozwiązanie, z dokładnością do przesunięcia o \(\displaystyle{ 2 \pi.}\) Zdarza się, że to rozwiązanie łatwo zgadnąć. W tym celu warto na początek zerknąć na ćwiartkę, w której leży liczba zespolona, aby dowiedzieć się, do którego z czterech przedziałów

\(\displaystyle{ \left[0, \frac{1}{2} \pi \right], \ \left[ \frac{1}{2} \pi, \pi \right], \ \left[ \pi, \frac{3}{2} \pi \right], \ \left[ \frac{3}{2} \pi, 2 \pi \right]}\)

należy szukany kąt \(\displaystyle{ \varphi.}\)
Jeśli nie jest się w stanie odgadnąć kąta, to albo jest się niedostatecznie spostrzegawczym, albo też kąt tej liczby ma brzydką postać, tak jak w przypadku liczby

\(\displaystyle{ 3+4 \mathrm i.}\)

Wtedy można podzielić równania stronami (bo jeśli któraś strona była zerowa, to liczba leżała na jednej z osi i kąt dało się łatwo zgadnąć: był on wielokrotnością \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \pi}\) ):

\(\displaystyle{ \tg \varphi = \frac{\sin \varphi}{\cos \varphi} = \frac{\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}}{\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}} = \frac{y}{x},}\)

czyli

\(\displaystyle{ \varphi = \arctg \frac{y}{x}}\) lub \(\displaystyle{ \varphi = \arctg \frac{y}{x} \pm \pi,}\)

w zależności od ćwiartki. Wynik można, policzywszy go na kalkulatorze (w radianach!), podzielić przez \(\displaystyle{ \pi.}\) Jeśli wówczas nie wyszła liczba wymierna, to znaczy że jednak nie jest z naszą spostrzegawczością aż tak źle, tylko kąt jest naprawdę brzydki i nie ma ładniejszej postaci niż ta z \(\displaystyle{ \arctg.}\)
A jeśli otrzymana z dzielenia liczba \(\displaystyle{ q}\) jest wymierna, to można się chwilę powstydzić, że nie zauważyło się, że wyjściowy układ równań spełnia liczba

\(\displaystyle{ \varphi = q \pi,}\)

a następnie grzecznie udowodnić, że tak faktycznie jest.

[Darek567]

Jeszcze chcę się do końca upewnić. Obok tego tematu jest mój drugi, gdzie został rozwiązany pewien przykład i wyszło \(\displaystyle{ \phi = \frac{7}{4}\pi = \frac{-\pi}{4}}\). Czy moge wpisać oba wyniki w odpowiedzi? Jeżeli tak to czy każdą liczbę mogę 'przesuwać' o \(\displaystyle{ 2 \pi}\)? Jeżeli tak to dlaczego tylko w niektórych przypadkach zachodzi ta procedura? Chodzi mi o odpowiedzi do zadań.

[Dasio11]

Wystarczy jeden z tych wyników, ale oba naraz są dobre (lub oba złe ;p).
Tak, jeśli \(\displaystyle{ \varphi}\) jest kątem liczby zespolonej, to jej kątem są też liczby

\(\displaystyle{ \varphi +2k\pi}\) dla \(\displaystyle{ k \in \ZZ.}\)