Potęgowanie liczb zespolonych z użyciem wzoru Moivre'a

[marcin2991]

Witam ma problem
na wykładzie mieliśmy zadanie aby z potęgować dane równanie:
\(\displaystyle{ \left( - \sqrt{3} + i \right) ^{15}}\)

i teraz:
\(\displaystyle{ P= \left( - \sqrt{3}, 1 \right)}\)
\(\displaystyle{ z=2}\)
postać trygonometryczna
\(\displaystyle{ - \sqrt{3}+i=2 \left( \cos \frac{5}{6} \pi + i\sin \frac{5}{6} \pi \right)}\)
postać wykładnicza
\(\displaystyle{ - \sqrt{3}+i=2 \cdot e^{ \frac{5}{6} \pi i }}\)
Teraz wzór Moivre'a
\(\displaystyle{ 2 ^{15} \left( \cos 15 \cdot \frac{5}{6} \pi + i\sin 15 \cdot \frac{5}{6} \pi \right)
=2^{15} \left( \cos \frac{25}{2} \pi +i\sin \frac{25}{2} \right) =}\)
i tu jest moje pytanie co dalej?
czy mam zastosować okresowość ciągów geometrycznych? a jeśli tak to w jaki sposób? (jak znaleźć szukana zmienną "k")?

[steal]

Nie okresowość ciągów geometrycznych, ale okresowość funkcji trygonometrycznych.
\(\displaystyle{ \frac{25}{2}\pi = 12\pi+\frac{\pi}{2}}\)

[marcin2991]

Nie okresowość ciągów geometrycznych, ale okresowość funkcji trygonometrycznych.
\(\displaystyle{ \frac{25}{2}\pi = 12\pi+\frac{\pi}{2}}\)

ale skąd się wziął ten wynik? \(\displaystyle{ 12\pi+\frac{\pi}{2}}\) bo to mnie najbardziej ciekawi ?

[steal]

To nie jest wynik, ale przekształcenie. Sprowadź to wyrażenie po prawej stronie do wspólnego mianownika, a otrzymasz lewą stronę.
Pokazałem Ci jak przekształcić argument np. funkcji cosinus, aby skorzystać ze wzorów na okresowość funkcji trygonometrycznych.

[marcin2991]

Czyli dalej
k= 6
a dalszy ciąg równania będzie:
\(\displaystyle{ =2 ^{15}(cos (6*2 \pi + \frac{ \pi }{2}) +isin(6*2 \pi + \frac{ \pi }{2})=2 ^{15}}\)
i dalej mam po prostu "wyrzucić" \(\displaystyle{ 6*2 \pi}\)
zostawiając
\(\displaystyle{ (cos \frac{ \pi }{2} +isin \frac{ \pi }{2})}\)??????

[steal]

Tak.

[marcin2991]

dzięki za pomoc-- 27 paź 2012, o 22:03 --Witam nie chciałem zakładać nowego tematu gdyż ten jest właściwy więc czy mógłby ktoś rozwiązać poniższe równanie gdyż jak rozwiązuje w sposób przedstawiony powyżej wychodzi mi inne rozwiązanie niż w odpowiedzi.

\(\displaystyle{ (-2+2i) ^{19}=}\)