Witam. Czy ktoś mógłby pomóc?
Podaj miejsca geometryczne punktów na płaszczyznie zespolonej spełniajacych warunek:
\(\displaystyle{ 0< \arg \left(\frac{z+i}{z-i} -1 \right) < \frac{\pi}{4}}\)
Wydzielono z: naszkicuj zbiór liczb
-
macias1234
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 18 paź 2010, o 18:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rakszawa
Wydzielono z: naszkicuj zbiór liczb
Ostatnio zmieniony 24 paź 2012, o 19:54 przez Dasio11, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nie podpinaj się pod cudze tematy.
Powód: Nie podpinaj się pod cudze tematy.
-
bb314
- Użytkownik
- Posty: 871
- Rejestracja: 3 sie 2012, o 19:01
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Namysłów
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 321 razy
Wydzielono z: naszkicuj zbiór liczb
\(\displaystyle{ 0< \arg \left(\frac{z+i}{z-i} -1 \right) < \frac{\pi}{4}}\)
\(\displaystyle{ a=\frac{z+i}{z-i} -1 =\frac{z+i-z+i}{z-i}=\frac{2i}{z-i}\ \ \ \ podstawmy\ \ \ z=x+yi}\)
\(\displaystyle{ a=\frac{2i}{x+yi-i}=\frac{2i}{x+(y-1)i}=\frac{2i[x-(y-1)i]}{[x+(y-1)i][x-(y-1)i]}=\frac{2xi-(2y-2)i^2}{x^2-(y-1)^2i^2}=\\=\frac{2xi+(2y-2)}{x^2+(y-1)^2}=\frac{2y-2}{x^2+(y-1)^2}+\frac{2x}{x^2+(y-1)^2}i}\)
\(\displaystyle{ \blue\fbox{\ \tg\left(arg(a)\right)=\frac{Im(a)}{Re(a)}\ }}\)
\(\displaystyle{ \tg\left(arg(a)\right)=\frac{\frac{2x}{x^2+(y-1)^2}}{\frac{2y-2}{x^2+(y-1)^2}}=\frac{2x}{2y-2}=\frac{x}{y-1}}\)
\(\displaystyle{ 0< \arg \left(\frac{z+i}{z-i} -1 \right) < \frac{\pi}{4}\ \ \ \to\ \ \ 0< \arg \left(a \right) < \frac{\pi}{4}\ \ \ \to\ \ \ 0< \tg\left(arg(a)\right) < 1\ \ \ \to}\)
\(\displaystyle{ \to\ \ 0<\frac{x}{y-1}<1\ \to\ \begin{cases} x(y-1)>0 \\ \frac{x}{y-1}<1 \end{cases} \ \to\ \begin{cases} x>0\ \wedge\ y>1\ \ lub\ \ x<0\ \wedge\ y<1 \\ y>1\ \wedge\ y>x+1\ \ lub\ \ y<1\ \wedge\ y<x+1 \end{cases}}\)
ostatecznie miejsce geometryczne liczby \(\displaystyle{ z\ \ \to\ \ -}\) \(\displaystyle{ \magenta \begin{cases} x>0\ \wedge\ y>x+1\\lub\\x<0\ \wedge\ y<x+1 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ a=\frac{z+i}{z-i} -1 =\frac{z+i-z+i}{z-i}=\frac{2i}{z-i}\ \ \ \ podstawmy\ \ \ z=x+yi}\)
\(\displaystyle{ a=\frac{2i}{x+yi-i}=\frac{2i}{x+(y-1)i}=\frac{2i[x-(y-1)i]}{[x+(y-1)i][x-(y-1)i]}=\frac{2xi-(2y-2)i^2}{x^2-(y-1)^2i^2}=\\=\frac{2xi+(2y-2)}{x^2+(y-1)^2}=\frac{2y-2}{x^2+(y-1)^2}+\frac{2x}{x^2+(y-1)^2}i}\)
\(\displaystyle{ \blue\fbox{\ \tg\left(arg(a)\right)=\frac{Im(a)}{Re(a)}\ }}\)
\(\displaystyle{ \tg\left(arg(a)\right)=\frac{\frac{2x}{x^2+(y-1)^2}}{\frac{2y-2}{x^2+(y-1)^2}}=\frac{2x}{2y-2}=\frac{x}{y-1}}\)
\(\displaystyle{ 0< \arg \left(\frac{z+i}{z-i} -1 \right) < \frac{\pi}{4}\ \ \ \to\ \ \ 0< \arg \left(a \right) < \frac{\pi}{4}\ \ \ \to\ \ \ 0< \tg\left(arg(a)\right) < 1\ \ \ \to}\)
\(\displaystyle{ \to\ \ 0<\frac{x}{y-1}<1\ \to\ \begin{cases} x(y-1)>0 \\ \frac{x}{y-1}<1 \end{cases} \ \to\ \begin{cases} x>0\ \wedge\ y>1\ \ lub\ \ x<0\ \wedge\ y<1 \\ y>1\ \wedge\ y>x+1\ \ lub\ \ y<1\ \wedge\ y<x+1 \end{cases}}\)
ostatecznie miejsce geometryczne liczby \(\displaystyle{ z\ \ \to\ \ -}\) \(\displaystyle{ \magenta \begin{cases} x>0\ \wedge\ y>x+1\\lub\\x<0\ \wedge\ y<x+1 \end{cases}}\)