Zrozumieć e do potęgi urojonej

[Borneq]

Jak zrozumieć \(\displaystyle{ e^{i\phi}}\) ? Wiem że jest wzór \(\displaystyle{ e^{ix}=\cos x +i\sin x}\) ale jak to wyrazić poglądowo? Przyzwyczajony jestem do \(\displaystyle{ e^{\phi}}\) rzeczywistego. Jednym z problemów jest to, że jest to funkcja z \(\displaystyle{ Z \rightarrow Z}\) podczas gdy najprostsze to \(\displaystyle{ R \rightarrow R}\), wykresy pagórkowe w 3D to \(\displaystyle{ R^{2} \rightarrow R}\) a tu mamy coś bardziej skomplikowanego niż \(\displaystyle{ R^{2} \rightarrow R^{2}}\).

[loitzl9006]

Mamy płaszczyznę zespoloną, z osią poziomą \(\displaystyle{ Re}\) (liczb rzeczywistych) i osią pionową \(\displaystyle{ Im}\) (liczb urojonych). W takim układzie współrzędnych rysujemy okrąg o promieniu \(\displaystyle{ 1}\) i środku w punkcie \(\displaystyle{ (0;0)}\).
\(\displaystyle{ x}\) (albo \(\displaystyle{ \phi}\)) jest miarą kąta (w radianach) odliczaną od dodatniej półosi liczb rzeczywistych w lewo po okręgu, zaczynając od punktu \(\displaystyle{ (1;0)}\), zaś wartość wyrażenia \(\displaystyle{ e ^{ix}}\) wyznaczasz zgodnie z podanym wzorem.
Przykładowo mamy coś takiego:
\(\displaystyle{ e ^{i \cdot \pi /2}}\)

Kąt wynosi \(\displaystyle{ 90}\) stopni, zatem punkt \(\displaystyle{ (1;0)}\) po przesunięciu o te \(\displaystyle{ 90}\) stopni po okręgu przemieści się do punktu \(\displaystyle{ (0;1)}\). Zatem te współrzędne po przesunięciu mówią nam, że część rzeczywista liczby \(\displaystyle{ e ^{i \cdot \pi /2}}\) jest równa \(\displaystyle{ 0}\), zaś urojona to \(\displaystyle{ 1}\).

Wobec tego \(\displaystyle{ e ^{i \cdot \pi /2} =i}\)

Kiedy są kąty ujemne, to odmierzamy je w prawo.

[Borneq]

Liczbę zespoloną można przedstawić w postaci kątowej. Podnoszenie do potęgi drugiej podwaja kąt. A jak przedstawić nie pojedynczą liczbę a funkcję? Może w ten sposób że gdy x się zwiększa to promień się zwiększa lub zmniejsza wykładniczo a kąt jednostajnie się obraca?

[Dasio11]

Mamy

\(\displaystyle{ e^{x+ \mathrm i y} = e^x \cdot \left( \cos y + \mathrm i \sin y \right),}\)

więc część rzeczywista argumentu odpowiada za moduł \(\displaystyle{ e^z,}\) a część urojona za kąt.

[Borneq]

A jak będzie \(\displaystyle{ e^{2 i y}}\) ?

[Dasio11]

\(\displaystyle{ e^{2 \mathrm iy} = \cos 2y + \mathrm i \sin 2y.}\)

Kąt \(\displaystyle{ 2y,}\) moduł \(\displaystyle{ 1.}\)