Witam, czy ktoś mógłby mi podpowiedzieć jak zrobić takie zadanie?
Pokaż, że:
\(\displaystyle{ \arctan z = \frac{i}{2} \cdot \left[\ln (i+z) - \ln (i-z) \right]}\)
Wykaż równość z arctg z
-
macias1234
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 18 paź 2010, o 18:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rakszawa
Wykaż równość z arctg z
Ostatnio zmieniony 23 paź 2012, o 19:27 przez Dasio11, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nie podpinaj się pod cudze tematy.
Powód: Nie podpinaj się pod cudze tematy.
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Wykaż równość z arctg z
W sensie pełnej, wielowartościowej funkcji analitycznej?
Na początek położyłbym obustronnie \(\displaystyle{ \tg}\) i skorzystał z tego, że
\(\displaystyle{ \tg \mathrm iw = \mathrm i \tgh w.}\)
A z kolei
\(\displaystyle{ \tgh w = \frac{ \frac{e^w - e^{-w}}{2}}{\frac{e^w+e^{-w}}{2}} = \frac{e^{2w}-1}{e^{2w}+1}.}\)
Na początek położyłbym obustronnie \(\displaystyle{ \tg}\) i skorzystał z tego, że
\(\displaystyle{ \tg \mathrm iw = \mathrm i \tgh w.}\)
A z kolei
\(\displaystyle{ \tgh w = \frac{ \frac{e^w - e^{-w}}{2}}{\frac{e^w+e^{-w}}{2}} = \frac{e^{2w}-1}{e^{2w}+1}.}\)
-
Suomka
- Użytkownik
- Posty: 58
- Rejestracja: 11 kwie 2011, o 19:51
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 1 raz
Wykaż równość z arctg z
\(\displaystyle{ \arctg z= \frac{i}{2}\ln \frac{i+z}{i-z}}\)
z tego wynika, że
\(\displaystyle{ \tg \frac{i}{2}\ln \frac{i+z}{i-z}=z}\)
wiadomo, że:
\(\displaystyle{ \tg w= \frac{\sin w}{\cos w}= \frac{e ^{iw}-e ^{-iw} }{i(e ^{iw}+e ^{-iw})}}\)
\(\displaystyle{ \tg \frac{i}{2}\ln \frac{i+z}{i-z}= \frac{ e^{ \frac{-\ln \frac{i+z}{i-z}}{2} } - e^{ \frac{\ln \frac{i+z}{i-z} }{2} } }{i \left( e^{ \frac{-\ln \frac{i+z}{i-z}}{2} } + e^{ \frac{\ln \frac{i+z}{i-z} }{2} } \right)}}\)
\(\displaystyle{ k=e ^{ \frac{\ln \frac{i+z}{i-z} }{2} }}\)
\(\displaystyle{ \tg \frac{i}{2}\ln \frac{i+z}{i-z}= \frac{ \frac{1}{k}-k }{i( \frac{1}{k}+k )}= \frac{1-k^2}{i(1+k ^{2} )} = \frac{1- \frac{i+z}{i-z} }{i(1+ \frac{i+z}{i-z} )}= \frac{-2z}{2i ^{2} }=z}\)
z tego wynika, że
\(\displaystyle{ \tg \frac{i}{2}\ln \frac{i+z}{i-z}=z}\)
wiadomo, że:
\(\displaystyle{ \tg w= \frac{\sin w}{\cos w}= \frac{e ^{iw}-e ^{-iw} }{i(e ^{iw}+e ^{-iw})}}\)
\(\displaystyle{ \tg \frac{i}{2}\ln \frac{i+z}{i-z}= \frac{ e^{ \frac{-\ln \frac{i+z}{i-z}}{2} } - e^{ \frac{\ln \frac{i+z}{i-z} }{2} } }{i \left( e^{ \frac{-\ln \frac{i+z}{i-z}}{2} } + e^{ \frac{\ln \frac{i+z}{i-z} }{2} } \right)}}\)
\(\displaystyle{ k=e ^{ \frac{\ln \frac{i+z}{i-z} }{2} }}\)
\(\displaystyle{ \tg \frac{i}{2}\ln \frac{i+z}{i-z}= \frac{ \frac{1}{k}-k }{i( \frac{1}{k}+k )}= \frac{1-k^2}{i(1+k ^{2} )} = \frac{1- \frac{i+z}{i-z} }{i(1+ \frac{i+z}{i-z} )}= \frac{-2z}{2i ^{2} }=z}\)