Podzbiór płaszczyzny zespolonej

[cialopodcialo]

Witam. Mam problem z zadaniem: Naszkicuj podzbiór płaszczyzny zespolonej dany nierównością: \(\displaystyle{ \left|1-\overline{z}\right| \ge \left| z+2i\right|}\)
Po przekształceniach otrzymuję: \(\displaystyle{ -2a+1 \ge 4ai-4}\) i nie wiem, jak to uprościć.

Z góry dzięki za pomoc.

[octahedron]

\(\displaystyle{ z=x+iy\\
|1-\overline{z}|\ge|z+2i|\\
|1-x+iy|\ge |x+i(y+2)|\\
(1-x)^2+y^2\ge x^2+(y+2)^2\\
1-2x+x^2+y^2\ge x^2+y^2+4y+4\\
y\le-\frac{1}{2}x-\frac{3}{4}\\}\)

[pyzol]

Po jakich przekształceniach? Powinieneś otrzymać nierówność z dwiema zmiennymi.

A z innej beczki. \(\displaystyle{ |1-\overline{z}|}\) to odległość liczby sprzężonej do \(\displaystyle{ z}\) oraz liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ 1}\). Ponieważ liczymy odległość od liczby rzeczywistej, to jest ona taka sama jak odległość liczby \(\displaystyle{ z}\). Zbiór punktów spełniających równanie:
\(\displaystyle{ |z-1|=|z-(-2i)|}\), to symetralna odcinka \(\displaystyle{ AB}\) o końcach \(\displaystyle{ A=1,B=-2i}\). Nierówność będzie opisywała jedną z półpłaszczyzn.

[cialopodcialo]

Dzięki za szybkie odpowiedzi:
Moje przekształcenia to:
\(\displaystyle{ \left| 1-\overline{z}\right| \ge\left| z+2i\right|/ ^{2}}\)
\(\displaystyle{ (1-\overline{z})\overline{(1-\overline{z})}\ge (z+2i)(\overline{z}+\overline{2i})}\)
gdzie: \(\displaystyle{ z=a+bi,\overline{z}=a-bi}\)
Wobec tego mamy:
\(\displaystyle{ [1-(a-bi)]\overline{[1-(a-bi)]} \ge (a+bi+2i)(a-bi+2i)}\)
...
\(\displaystyle{ -2a+1 \ge 4ai-4}\)

Wybaczcie, że tak wolno piszę, ale to mój 1. raz w LaTeX-ie.

@octahedron: Mógłbyś wyjaśnić przejście pomiędzy wierszami 3-4?

[octahedron]

\(\displaystyle{ z=x+iy \Rightarrow |z|=\sqrt{x^2+y^2}}\)