Nierówność z wartością bezwzględna

[kondi006]

Witam. Mam narysować na płaszczyźnie zespolonej taki zbiór:

\(\displaystyle{ |z-i|+|z+i|<4}\)

Nie potrafi mi to wyjść, gdy próbuję rozbić to na 3 przedziały. Czy mógłbym liczyć na jakieś podpowiedzi albo przykładowe rozwiązanie dla jednego z przedziałów?

[sebnorth]

\(\displaystyle{ |z-i|+|z+i| = 4}\) - to będzie elipsa o ogniskach w punktach \(\displaystyle{ -i, i}\) (poczytaj o elipsie w dowolnej książce, na wikipedii czytam: elipsa - miejsce geometryczne wszystkich tych punktów płaszczyzny, dla których suma odległości od dwóch ustalonych punktów jest stałą.)

W naszym zadaniu \(\displaystyle{ 4 = 2a}\) - długość osi wielkiej elipsy

Jeśli \(\displaystyle{ 2 \leq 2a < 4}\) to równanie \(\displaystyle{ |z-i|+|z+i| = 2a}\) przestawia elipsę o ogniskach w punktach \(\displaystyle{ -i, i}\).

Ważne tutaj że \(\displaystyle{ 2a > 2c = 2}\) (odległość między ogniskami).

Jeśli \(\displaystyle{ 2a = 2}\) to równanie \(\displaystyle{ |z-i|+|z+i| = 2a}\) przedstawia odcinek łączący punkty \(\displaystyle{ i,-i.}\)

Reasumując \(\displaystyle{ |z-i|+|z+i| < 4}\) przedstawia wnętrze elipsy.

[bb314]

\(\displaystyle{ |z-i|+|z+i|<4}\)

Nie potrafi mi to wyjść, gdy próbuję rozbić to na 3 przedziały.

Pionowe kreski \(\displaystyle{ |\ |}\) nie oznaczają wartości bezwzględnej, tylko moduł liczby zespolonej, więc nie można mówić o rozbijaniu na przedziały.

moduł liczby zespolonej \(\displaystyle{ |a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}}\)

to zadanie można rozwiązać tak jak to zrobił \(\displaystyle{ \blue sebnorth}\)
można rozwiązać też, mniej błyskotliwą, metodą tradycyjną:
podstawiamy \(\displaystyle{ z=x+yi}\)
\(\displaystyle{ |z-i|+|z+i|<4\ \ \to\ \ |x+yi-i|+|x+yi+i|<4\ \ \to\ |x+(y-1)i|+|x+(y+1)i|<4}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{x^2+(y-1)^2}+\sqrt{x^2+(y+1)^2}<4}\)

po dwukrotnym podniesieniu stronami do kwadratu i przekształceniach otrzymamy
\(\displaystyle{ 4x^2+3y^2<12\ \ \ \to\ \ \ \blue \frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}<1}\)

na płaszczyźnie jest to obszar wewnątrz elipsy o środku w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\),
dłuższej „średnicy” (pionowej) \(\displaystyle{ =4}\) i krótszej (poziomej) \(\displaystyle{ =2\sqrt3}}\)

jest to oczywiście ta sama elipsa, którą wyznaczył \(\displaystyle{ \blue sebnorth}\)