Zadania z liczb zespolonych

[ibefree]

Witam,

Proszę o pomoc w rozwiązaniu, najlepiej z krótkim opisem, wytłumaczeniem, poniższych zadań z
liczb zespolonych.

\(\displaystyle{ a) \sqrt{\left( 1+ 2i \right) ^{4}}}\)
\(\displaystyle{ b) \sqrt[3]{\left( \frac{1+i}{ \sqrt{2} }\right) ^{26} \frac{1-i}{1+1} }}\)
\(\displaystyle{ c) \left( \frac{1-i}{ \sqrt{3}+i } \right) ^{6}}\)
\(\displaystyle{ d) z^{3} = \left( iz + 1\right) ^{3}}\)

Z góry dzięki za szybką pomoc,

[Chromosom]

a) Wzór na pierwiastki liczby zespolonej;
b) uprość wyrażenie znajdujące się pod pierwiastkiem;
c) najpierw pomnóż licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika;
d) proponuję zastosować wzór na różnicę sześcianów.

[sebnorth]

w punkcie a) można zgadnąć rozwiązania: \(\displaystyle{ (1+2i)^2}\) oraz \(\displaystyle{ (1+2i)^2 \cdot (-1)}\)

[ibefree]

W jaki sposób rozpisać na pierwiastki tego typu zadanie, jak wyliczyć moduł |z| itd.? :

\(\displaystyle{ x ^{4} - i = 0}\)

[sebnorth]

tu jest podobne zadanie:

[ibefree]

Nie potrafię rozgryźć tego przykładu, dlaczego oni tam za -i podkładają wartość 3/2 pi? Mógłby ktoś rozpisać ten jeden przykład, żebym widział jak rozwiązywać inne, podobne zadania?

[sebnorth]

rozpisać można zawsze ale spróbuj poczytać najpierw o reprezentacji trygonometrycznej liczb zespolonych, o module i kącie, i wtedy zobaczysz skąd ten kąt \(\displaystyle{ \frac{3}{2} \pi.}\)

[ibefree]

Ok to rozpisze jak ja to robię i popraw mi w którym miejscu popełniam błąd.

\(\displaystyle{ x^{4} - i = 0}\)
\(\displaystyle{ x^{4} = i}\)
\(\displaystyle{ x = \sqrt[4]{i}}\)

Następnie liczę moduł (rozpisuje już bardzo dokładnie):

\(\displaystyle{ \sqrt[]{ 0^{2} + 1^{2} } = 1}\)

Następnie liczę sinus, cosinus fi:

cosinus =
\(\displaystyle{ \frac{x}{z} = \frac{0}{1} = 0}\)
sinus =
\(\displaystyle{ \frac{y}{z} = \frac{1}{1} = 1}\)

Wartość fi wychodzi pi/2.

Nie mam pojęcia co jest źle i skąd wziąć fi = 3/2 pi. Dalej już wiem jak liczyć pierwiastki.