rozwiązanie równania

[rachu_ciachu]

\(\displaystyle{ \frac{2+i}{z-1+4i}= \frac{1-i}{2z+i} \Rightarrow z= \frac{4+3i}{3-3i}}\) Czy ktoś mógłby sprawdzić czy to jest dobrze i powiedzieć jakie tu wychodza sinusy i cosinusy?

[bb314]

Sprawdziłam

\(\displaystyle{ \frac{2+i}{z-1+4i}= \frac{1-i}{2z+i}\ \ \Rightarrow \ \ z= \frac{4+3i}{3+3i}}\)

\(\displaystyle{ z=\frac{(4+3i)(3-3i)}{(3+3i)(3-3i)}=\frac{21-3i}{18}=\frac{7-i}{6}=\frac76-\frac16i}\)

dalej już chyba dasz radę

[rachu_ciachu]

Czyli wychodzi że

\(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{7 \sqrt{2} }{10} sin \alpha =- \frac{ \sqrt{2} }{10}}\) ?

Mam szukać kąta? Czy wystarczy jeśli rozwiąże to iż \(\displaystyle{ z=|z|(\frac{7 \sqrt{2} }{10}- \frac{ \sqrt{2} }{10})}\) Czy ogólnie to już jest poprawna forma i nie musze jej poprawiać?

[bb314]

\(\displaystyle{ z=\frac76-\frac16i}\)

\(\displaystyle{ \blue|z|=\black\sqrt{\left(\frac76\right)^2+\left(\frac16\right)^2}=\sqrt{\frac{50}{36}}=\ \blue\frac{\sqrt{50}}{6}}\)

\(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{\frac76}{\frac{\sqrt{50}}{6}}=\frac{7}{\sqrt{50}}}\)

\(\displaystyle{ \sin\alpha=\frac{-\frac16}{\frac{\sqrt{50}}{6}}=-\frac{1}{\sqrt{50}}}\)

ponieważ funkcja kosinus ma wartość dodatnią, a sinus ujemną, więc ten kąt jest w IV ćwiartce, czyli
\(\displaystyle{ \alpha=2\pi-arcsin\frac{1}{\sqrt{50}}}\)

wynik można zatem przedstawić w postaci takiej
\(\displaystyle{ \blue z\ =\black\frac{\sqrt{50}}{6}\left(\frac{7}{\sqrt{50}}-\frac{1}{\sqrt{50}}i\right)=\blue \frac{\sqrt{50}}{6}\left(\cos\alpha+i\,\sin\alpha\right)\ \ \ \ \ \ \ \alpha=2\pi-arcsin\frac{1}{\sqrt{50}}}\)