Postać trygonometryczna

[trzebiec]

Przedstaw w postaci trygonometrycznej:

\(\displaystyle{ z=1+\cos \alpha + i \sin \alpha, \quad \alpha \in \left\langle 0; \frac{ \pi }{2} \right\rangle}\)

\(\displaystyle{ r= \sqrt{(1+\cos \alpha )^{2} + \sin^{2} \alpha }= \sqrt{2 + 2 \cos \alpha }}\) w odpowiedziach jest \(\displaystyle{ z=2\cos \frac{ \alpha }{2} \cdot ...}\) skąd to się wzięło?

[Tmkk]

\(\displaystyle{ \cos \alpha = 2\cos^2 \frac{\alpha}{2} - 1}\)

[pawellogrd]

\(\displaystyle{ r= \sqrt{(1+\cos \alpha )^{2} + \sin^{2} \alpha }= \sqrt{2 + 2 \cos \alpha} = \sqrt{4 \cdot \frac{1 + cos \alpha}{2}} = 2 \cdot \sqrt{ \frac{1 + cos \alpha}{2}}=2 \left| \cos {\frac{\alpha}{2}}\right|}\)

Dla \(\displaystyle{ \alpha \in \left( 0; \frac{\pi}{2} \right)}\) zachodzi: \(\displaystyle{ \left| \cos {\frac{\alpha}{2}}\right | = \cos {\frac{\alpha}{2}}}\) zatem dla wartości \(\displaystyle{ \alpha}\) z tego przedziału otrzymujemy:

\(\displaystyle{ 2 \left| \cos {\frac{\alpha}{2}}\right| = 2 \cos \frac{\alpha}{2}}\)

Korzystałem z tożsamości: \(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{1 + cos \alpha}{2}}= \left| \cos {\frac{\alpha}{2}}\right|}\)