Pierwiastkowanie liczb zespolonych.

[Spens13]

Witam, otóż mam za zadanie obliczyć:
\(\displaystyle{ z^{3}-1=0}\)
dwoma metodami. Robię to tak:
Metoda I
\(\displaystyle{ z^{3}=1}\)
\(\displaystyle{ V=1}\)
\(\displaystyle{ V=1+0i}\)
\(\displaystyle{ |V|= \sqrt{ 1^{2}+ 0^{2} }}\)
\(\displaystyle{ \cos\phi= \frac{1}{1}=1}\)
\(\displaystyle{ \sin\phi= \frac{0}{1}=0}\)
\(\displaystyle{ \phi=\pi}\)
\(\displaystyle{ z_{0}= \sqrt[3]{1}(\cos \frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3})= \frac{1}{2}+ \frac{ \sqrt{3} }{2}i}\)
\(\displaystyle{ z_{1}= \sqrt[3]{1}(\cos \frac{\pi +2\pi}{3}+i\sin \frac{\pi +2\pi}{3})= \cos \pi + i\sin \pi = 1}\)
\(\displaystyle{ z_{1}= \sqrt[3]{1}(\cos \frac{\pi +4\pi}{3}+i\sin \frac{\pi +4\pi}{3})= \cos (2\pi - \frac{\pi}{3}) + i\sin (2\pi - \frac{\pi}{3})=\cos \frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3}= \frac{1}{2}- \frac{ \sqrt{3} }{2}i}\)

Metoda II
\(\displaystyle{ a^{3}+ b^{3}=(a+b)( a^{2}-ab+ b^{2})}\)
\(\displaystyle{ z^{3}+ (-1)^{3}=(z-1)( z^{2}+z+1)}\)
\(\displaystyle{ z-1=0 \vee z^{2}+z+1=0}\)
\(\displaystyle{ z=1 \vee z^{2}+z+1=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta =1-4=-3}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}= \sqrt{-3}= \sqrt{3 i^{2} }= \sqrt{3}i \vee -\sqrt{3}i}\)
\(\displaystyle{ z_{1}= \frac{-1- \sqrt{3}i }{2}=- \frac{1}{2}- \frac{ \sqrt{3} }{2}i}\)
\(\displaystyle{ z_{2}= \frac{-1+ \sqrt{3}i }{2}=- \frac{1}{2}+ \frac{ \sqrt{3} }{2}i}\)

Wie ktoś może gdzie zrobiłem błąd, że w pierwszej metodzie mam wynik dodatni a w drugie ujemy? :/

[pawellogrd]

Skoro \(\displaystyle{ \cos \phi = 1 \wedge \sin \phi = 0}\), to \(\displaystyle{ \phi = 0}\), a u Ciebie jest \(\displaystyle{ \phi = \pi}\), gdzie \(\displaystyle{ \cos(\pi) = -1 \neq 1}\). Po tej poprawce wyniki z metody I będą zgodne z wynikami z metody II, które są poprawne.

[Spens13]

Ah, dziękuję bardzo. Mi się pomyliło, że przy 1 dodatnim jest to pi :/