Zadania z liczb zespolonych

[plexius1]

Witam, mam problem z 2 zadaniami, w pierwszym wychodzi mi dziwny wynik, więc domyślam się, że coś robię źle... Należy w nim obliczyć równanie kwadratowe: \(\displaystyle{ z^{2} + 4z - 13 = 0}\)
zaczynam tutaj od liczenia delty, która wychodzi \(\displaystyle{ 68,}\) pierwiastek z niej jest równy \(\displaystyle{ 2 \sqrt{17}}\) a więc \(\displaystyle{ z_{1} = -2 + \sqrt{17}}\) a \(\displaystyle{ z_{2} = -2 + \sqrt{17}}\) i to mi się nie podoba (gdzie jest "j"??)

W drugim trzeba narysować funkcję \(\displaystyle{ \left| z\right| ^{2} = 2 \Im(z)}\) i tutaj nie wiem zupełnie jak się zabrać za to zadanie... (jak rozpisać tą prawą część równania, bo lewa to \(\displaystyle{ \sqrt{ x^{2}+ (y)^{2} }}\) ??)

[pawellogrd]

Witaj,

w zadaniu 1. zrobiłeś tylko jeden błąd - napisałeś dwa razy ten sam pierwiastek, domyślam się, że miało być: \(\displaystyle{ z_{1} = -2 + \sqrt{17}}\) oraz \(\displaystyle{ z_{2} = -2 - \sqrt{17}}\) . Te rozwiązania są poprawne, to że rozwiązujesz równanie w ramach liczb zespolonych nie znaczy, że koniecznie rozwiązania muszą być liczbami zespolonymi, mogą równie dobrze być liczbami rzeczywistymi (liczba rzeczywista to liczba zespolona z zerową częścią urojoną).

Odnośnie zadania 2 to skoro po lewej rozpisujesz w ten sposób moduł liczby \(\displaystyle{ z}\) to oznacza, że \(\displaystyle{ y}\) jest częścią urojoną tej liczby, zatem \(\displaystyle{ 2 Im(z) = 2 y}\), stąd otrzymasz równanie \(\displaystyle{ x^2 + y^2 - 2y = 0}\), które łatwo można przekształcić do równania okręgu.

[plexius1]

a więc po zamianie tego równania na równanie okręgu otrzymam \(\displaystyle{ x^{2} + y^{2} =1}\)?? więc rozwiązaniem będzie okrąg o środku (0,0) i promieniu 1??

[pawellogrd]

\(\displaystyle{ x^2 + y^2 - 2y = 0}\)

\(\displaystyle{ x^2 + y^2 - 2y + 1 - 1 =0}\)

\(\displaystyle{ x^2 + y^2 - 2y + 1 =1}\)

\(\displaystyle{ x^2 + \left( y-1\right)^2 = 1}\)

Zatem rozwiązaniem będzie okrąg o środku w punkcie \(\displaystyle{ \left( 0,1\right)}\) i promieniu \(\displaystyle{ 1}\)

[plexius1]

ok, dzięki wielkie, wiem że te zadania pewnie są łatwe, ale jestem dopiero po 4 godzinach zajęć z liczb zespolonych i nie wszystko jeszcze ogarniam

Jeszcze jedno pytanie: Skoro \(\displaystyle{ \Im(z)=y,}\) to \(\displaystyle{ \Re(z)=x}\) tak? Jest mi to potrzebne w kolejnym przykładzie:
\(\displaystyle{ \Im(z)= (\Re(z))^{2}}\)
\(\displaystyle{ \Re(z)= x^{2}}\)
\(\displaystyle{ 2y= x^{2}}\)
\(\displaystyle{ y= \frac{ x^2}{2}}\)

czy dobrze rozumuje??

[bb314]

Skoro \(\displaystyle{ \Im(z)=y,\ \ \ \Re(z)=x}\) .....

.... to \(\displaystyle{ \Im(z)= (\Re(z))^{2}\ \ \ \to\ \ \ y=x^2}\)

[plexius1]

Skoro \(\displaystyle{ \Im(z)=y,\ \ \ \Re(z)=x}\) .....

.... to \(\displaystyle{ \Im(z)= (\Re(z))^{2}\ \ \ \to\ \ \ y=x^2}\)

Ups wkradł mi się błąd, chodziło mi o to, że \(\displaystyle{ 2\Im(z)= (\Re(z))^{2}}\), stąd wzięło mi się \(\displaystyle{ 2y}\)

kolejny przykład mam rozwiązany w ten sposób:
\(\displaystyle{ \Im( z^{2} )=2}\)
\(\displaystyle{ z=x+yj \Rightarrow z^{2} = x^{2} +2xyj+ y^{2} \Rightarrow Im(x^{2} +2xyj- y^{2})=2}\)

i teraz nie jestem pewien co dalej, zrobiłem to tak:
\(\displaystyle{ 2xyj=2}\)
\(\displaystyle{ xyj=1}\)
\(\displaystyle{ -x^{2} y ^{2} =1}\)
\(\displaystyle{ -xy=1}\)
\(\displaystyle{ xy=-1}\)
\(\displaystyle{ x= - \frac{1}{y}}\)
W poleceniu jest żeby narysować wykres funkcji, pytanie czy mam ją dobrze obliczoną?

[bb314]

\(\displaystyle{ z=x+yj \Rightarrow z^{2} = x^{2} +2xyj+ y^{2}j^2=x^2+2xyj -y^2 \Rightarrow \Im(z^2)=2xy}\)

[plexius1]

mam jeszcze zadanie, w którym muszę przekształcić funkcję na inne postaci (trygonometryczną i algebraiczną). Z większością przykładów sobie poradziłem ale jednego nie wiem, z której strony ugryźć

\(\displaystyle{ e^{1+j 210^{\circ}}}\)

te stopnie zamieniam na \(\displaystyle{ \frac{7}{6} \pi}\) i dalej nie wiem co zrobić...

[bb314]

\(\displaystyle{ \blue z=e^{1+j210^o}}\)

postać wykładnicza
\(\displaystyle{ z=e\cdot e^{j210^o}\ \ \ \to\ \ \ \begin{cases}|z|=e\\ \arg(z)=210^o\end{cases}}\)

postać trygonometryczna
\(\displaystyle{ z=e(\cos210^o+j\,\sin210^o)}\)

postać algebraiczna
\(\displaystyle{ z=-\frac{\sqrt3}{2}e-\frac12ej}\)

[plexius1]

mam do zrobienia kolejne zadanie z liczb zespolonych, mianowicie obliczyć \(\displaystyle{ z_{1} ^{4}}\). Wszystko ładnie pięknie, umiem to zrobić, ale wynik mam podać w każdej z tych trzech postaci (alg., tryg. i wykł.). Dwie ostatnie potrafię zrobić, ale nie wiem jak mam podać wartość liczbową \(\displaystyle{ \cos \left( -\frac{ 4\pi }{3} \right)}\) i \(\displaystyle{ \sin \left( -\frac{ 4\pi }{3} \right)}\). Szukałem w tabelach ale tam zawsze podają wartość do 90 stopni i nie wiem skąd wziąć te powyżej, stąd pytanie czy ma ktoś może taką tabelę, albo zna jakiś łatwy sposób żeby to obliczyć?

[bb314]

Do tego służą wzory redukcyjne.

Trzeba wkuć:
\(\displaystyle{ \ \bl\fbox{\fbox{\ \mbox{w pierwszej wszystkie, w drugiej tylko sinus,\\w trzeciej tangens i cotangens a w czwartej cosinus}\ }}}\)

ta nieśmiertelna rymowanka mówi o tym, w której ćwiartce \(\displaystyle{ 360^o}\) która funkcja jest dodatnia
pierwsza ćwiartka jest wtedy, gdy kąt jest \(\displaystyle{ \ \left( 90^o-\beta \right)}\)
druga ćwiartka - \(\displaystyle{ \ \left( 90^o+\beta \right) \ \ \ \text{lub}\ \ \ \left( 180^o-\beta \right)}\)
trzecia - \(\displaystyle{ \ \left( 180^o+\beta \right) \ \ \ \text{lub}\ \ \ \left( 270^o-\beta \right)}\)
czwarta - \(\displaystyle{ \ \left( 270^o+\beta \right) \ \ \ \text{lub} \ \ \ \left( 0^o-\beta \right)}\)
przy czym nie ma znaczenia wielkość ani znak samego \(\displaystyle{ \ \beta}\)
to nam mówi jaki znak przyjmie funkcja lub kofunkcja po zredukowaniu kąta \(\displaystyle{ \ 0^o,\ 90^o,\ 180^o,\ lub\ 270^o}\)
przy redukowaniu kąta \(\displaystyle{ 90^o}\) lub \(\displaystyle{ 270^o}\) funkcja zmienia się na kofunkcję, tzn. \(\displaystyle{ \sin \ \to\ \cos ,\ \ \tg \ \to\ ctg}\) i odwrotnie

przykład
\(\displaystyle{ \cos \left( 270^o-3241^o \right)}\)
kąt jest w trzeciej ćwiartce, w której cosinus jest ujemny, czyli bedzie znak minus
redukujemy kąt \(\displaystyle{ \ 270^o}\) więc funkcja zmieni się na przeciwną
ostatecznie
\(\displaystyle{ \cos \left( 270^o-3241^o \right) =-\sin 3241^o}\)

w naszym zadaniu
\(\displaystyle{ \cos \left( -\frac{ 4\pi }{3} \right) =\cos \left( 0-\frac{ 4\pi }{3} \right) =}\) - IV ćwiartka - kosinus jest dodatni, więc
\(\displaystyle{ =\cos \left( \frac{ 4\pi }{3} \right) =\cos \left( \pi+\frac{ \pi }{3} \right) =}\) - III ćwiartka - kosinus jest ujemny, więc
\(\displaystyle{ =-\cos \frac{\pi}{3}=-\frac12}\)

\(\displaystyle{ \sin \left( -\frac{ 4\pi }{3} \right) =\sin \left( 0-\frac{ 4\pi }{3} \right) =}\) - IV ćwiartka - sinus jest ujemny, więc
\(\displaystyle{ =-\sin \left( \frac{ 4\pi }{3} \right) =-\sin \left( \pi+\frac{ \pi }{3} \right) =}\) - III ćwiartka - sinus jest ujemny, więc
\(\displaystyle{ =-\left( -\sin \frac{ \pi }{3}\right) =+\sin \frac{\pi }{3} =\frac{\sqrt3}{2}}\)


Albo jeśli wolisz:

[pawellogrd]

W ostateczności (ale to raczej dłuższa droga choć niektórzy tą wolą) możesz skorzystać z tożsamości trygonometrycznych: \(\displaystyle{ \sin(x+y)=\sin(x) \cos(y) + \cos(x) +sin(y)}\) oraz \(\displaystyle{ \cos(x+y) = \cos(x) \cos(y) - \sin(x) \sin(y)}\) oraz skorzystać z parzystości obu tych funkcji: \(\displaystyle{ \cos(-x)=\cos(x)}\) i \(\displaystyle{ \sin(-x)=-\sin(x)}\). Przy użyciu tych tożsamości i nieparzystości/parzystości możesz sprowadzić obliczenie sinusa czy cosinusa dowolnego kąta do obliczenia tych funkcji od kąta z zakresu \(\displaystyle{ \alpha \in \left\langle 0, \frac{\pi}{2} \right\rangle}\).

Możesz też naszkicować sobie wykres tych funkcji i z niego odczytać potrzebną wartość.

Także masz do wyboru te trzy drogi, z tym, że polecam wzory redukcyjne - są najprostszą wg mnie drogą do obliczenia takich wyrażeń.