postać wykł. liczby zespolonej

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
karoufolec
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 134
Rejestracja: 26 kwie 2011, o 11:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 13 razy

postać wykł. liczby zespolonej

Post autor: karoufolec »

Jak znaleźć wszystkie rozwiazania tego równania

\(\displaystyle{ \overline{z} z^{n} = 2^{n+1}}\)
Awatar użytkownika
bb314
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 871
Rejestracja: 3 sie 2012, o 19:01
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Namysłów
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 321 razy

postać wykł. liczby zespolonej

Post autor: bb314 »

\(\displaystyle{ z=|z|e^{i\varphi}}\)
\(\displaystyle{ \overline{z}=|z|e^{-i\varphi}}\)
karoufolec
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 134
Rejestracja: 26 kwie 2011, o 11:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 13 razy

postać wykł. liczby zespolonej

Post autor: karoufolec »

a mógłby mi ktos krok po kroku wytlumaczyc o co w tym zadaniu chodzi??
Awatar użytkownika
bb314
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 871
Rejestracja: 3 sie 2012, o 19:01
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Namysłów
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 321 razy

postać wykł. liczby zespolonej

Post autor: bb314 »

Prosisz i masz

\(\displaystyle{ \overline{z} z^{n} = 2^{n+1}\ \ \to\ \ |z|e^{-i\varphi}\cdot|z|^ne^{ni\varphi}=|z|^{n+1}e^{(n-1)i\varphi}}\)
\(\displaystyle{ |z|^{n+1}e^{(n-1)i\varphi}=2^{n+1}\ \ \to\ \ \blue|z|=2\ \wedge\ e^{(n-1)i\varphi}=1}\)

\(\displaystyle{ e^{(n-1)i\varphi}=1\ \ \to\ \ \varphi=\frac{2k\pi}{n-1}\ \ \ \ k=\{0,1,2,...,n-2\}}\)

\(\displaystyle{ \blue z_{k+1}=2e^{i\frac{2k\pi}{n-1}}=2\left(\cos\frac{2k\pi}{n-1}+i\,\sin\frac{2k\pi}{n-1}\right)\ \ \ \ \ k=\{0,1,2,...,n-2\}}\)
karoufolec
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 134
Rejestracja: 26 kwie 2011, o 11:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 13 razy

postać wykł. liczby zespolonej

Post autor: karoufolec »

dzieki wielkie
ODPOWIEDZ