Równanie zespolone

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
777Lolek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1053
Rejestracja: 20 wrz 2012, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: podWarszawie
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 208 razy

Równanie zespolone

Post autor: 777Lolek »

\(\displaystyle{ z^3 = (1-i)^3}\)

jedno rozwiązanie jest chyba oczywiste(?) - \(\displaystyle{ z_1 = 1-i}\) , ale co z resztą? Zdaje się że są trzy rozwiązania, jako że stopień potęgi czy też pierwiastka jest równy \(\displaystyle{ 3}\) (?)

Proszę o pomoc;]


edit. A, no i jeszcze gdybyście mnie mogli naprowadzić jak to przedstawić na osi współrzędnych...-- 18 paź 2012, o 23:18 --Hm.. teraz sobie tak to próbuję rozkminiać, to teraz prosze żeby ktoś mi powiedział czy dobrze rozkminiam czy nie bardzo..

skoro mamy \(\displaystyle{ 3}\) pierwiastki to w ukladzie wspolrzednych bedzie trójkąt równoboczny, skoro \(\displaystyle{ z_0 = 1-i}\) to \(\displaystyle{ a=1 \wedge b=-1}\) zatem \(\displaystyle{ r = |z| = \sqrt{2}}\) . \(\displaystyle{ \Delta\varphi = \frac{2\pi}{3}}\) . Kąt \(\displaystyle{ \varphi}\) dla \(\displaystyle{ z_0}\) jest równy \(\displaystyle{ -\frac{\pi}{4}}\) , więc \(\displaystyle{ \varphi_2 = \frac{5\pi}{12} \wedge \varphi_3 = \frac{13\pi}{12}}\) .
\(\displaystyle{ |z| = \sqrt{2}}\) więc również \(\displaystyle{ |z_1| = \sqrt{2}}\) , czyli \(\displaystyle{ z_1 = \sqrt{2}(\cos{\frac{5\pi}{12}} + i\sin{\frac{5\pi}{12}})}\) . Korzystam z cosinusa sumy i sinusa sumy kątów \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}}\) i dostaję na koniec \(\displaystyle{ z_1 = \frac{\sqrt3 - 1}{2} + \frac{\sqrt3 + 1}{2}i}\) .

Czy to jest dobre rozumowanie?
octahedron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3568
Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 910 razy

Równanie zespolone

Post autor: octahedron »

Tak.
ODPOWIEDZ