potęga l. zespolonej

[Herbarium]

mam taki przykład do rozwiązania i nie bardzo wiem jak się za niego zabrać

\(\displaystyle{ (1-i)^{13}}\)

[pawellogrd]

Skorzystaj ze wzoru de Moivre'a

[szw1710]

\(\displaystyle{ (1-i)^2=1-2i+i^2=1-2i-1=-2i.}\)

Podnosimy to do potęgi \(\displaystyle{ 6}\):

\(\displaystyle{ (1-i)^{12}=(-2i)^6=64i^6=64\cdot(-1)^3=-64}\)

Mnożymy przez \(\displaystyle{ 1-i:}\)

\(\displaystyle{ (1-i)^{13}=-64(1-i)=-64+64i.}\)

Wzoru de Moivre'a nie zastosowałem z przekory, żeby pokazać jakąś alternatywę

[Herbarium]

nie wiem co ty zrobiłeś i jak ale wielkie dzięki a co to ten de moivez ?

[pawellogrd]

szw1710, często też ten sposób stosowałem, ale jakoś teraz mi na myśl przyszło zastosowanie tego wzoru nie wiedzieć czemu choć sposób, który pokazałeś jest dużo prostszy

Herbarium, te powyższe przekształcenia to nic innego jak wykorzystanie wzorów: \(\displaystyle{ \left( a-b \right)^2 = a^2 - 2ab + b^2}\) oraz \(\displaystyle{ a^{xy} = \left( a^x\right) ^y}\)

A o wzorze de Moivre'a poczytaj choćby na wikipedii.

[szw1710]

Herbarium, przeanalizuj moje komentarze. Może jeszcze raz:

\(\displaystyle{ (1-i)^{13}=(1-i)^{12}(1-i)=\bigl((1-i)^2\bigr)^6(1-i)=(-2i)^6(1-i)=-64(1-i)=-64+64i.}\)

O wzorze de Moivre,a nie czytaj na Wikipedii - opracowany jest fatalnie.

-- 18 paź 2012, o 21:20 --

pawellogrd, dziś robiłem ze studentami potęgowanie liczb zespolonych na postaciach wykładniczych. A więc żebym się nie nudził, zrobiłem jak pokazałem Ale mówię - z przekory. Bo chyba wielu spodziewa się wzoru de Moivre'a. I niektórzy są nawet w stanie nie przyjąć takiego rozwiązania. A studentom zawsze na pytania, jak mają zadanie rozwiązywać, mówię: dowolną metodą, byle poprawną. W tym sensie np. rozwiązanie równania kwadratowego przez odgadnięcie pierwiastków wraz ze stwierdzeniem, że są co najwyżej dwa, a skoro się je odgadło, to już są wszystkie, jest całkowicie poprawne. Czym jest też metoda przewidywań, jak nie zgadywaniem... programowanym?

Jeśli dyskusja się rozwinie, proszę Moderatorów o wydzielenie do innego wątku.

[Herbarium]

na viki to tende Moivre to masakra jak to zastosować ?

jak by ktos mógł +/- opisac o co tam chodzi tak dla tempola na przykładzie takim

\(\displaystyle{ (2\sqrt{3} - 2i) ^{30}}\)

[Glo]

A znasz postać trygonometryczną liczby zespolonej?

Weźmy sobie jakąś liczbę zespoloną, \(\displaystyle{ z=a+bi}\). Możesz ją przedstawić w układzie współrzędnych o tak:



Teraz ką do osi Re nazwiemy \(\displaystyle{ \x}\). Tak więc współrzędne tej liczby można przedstawić jako:

\(\displaystyle{ b=r\sin x}\)

\(\displaystyle{ a=r\cos x}\)

A więc:

\(\displaystyle{ z=a+bi=r(\cos x + i \sin x)}\)

Wymnóż i sprawdź, że się zgadza.

Dodatkowo, \(\displaystyle{ \sin x}\), \(\displaystyle{ \cos x}\) i \(\displaystyle{ e^{ix}}\) w szereg Maclaurina można stwierdzić, że:

\(\displaystyle{ e^{ix}=\cos x+i\sin x}\)

A jeżeli podnosimy \(\displaystyle{ e^ix}\) do potęgi n, otrzymamy:

\(\displaystyle{ e^{nix}}\)

Ale wiemy już z poprzedniego wzoru, że:

\(\displaystyle{ e^{nxi}=cos(nx)+isin(nx)}\)

Czyli łącząc:

\(\displaystyle{ z=a+bi=r(\cos \x + i \sin \x)}\)
\(\displaystyle{ e^{ix}=\cos x+i\sin x}\)
\(\displaystyle{ e^{nxi}=(\cos (x)+i\sin (x))^n=cos(xn)+i\sin (xn)}\)

Mamy, że \(\displaystyle{ z^n=r^n(\cos (nx)+i\sin (nx))}\)

A więc jeżeli przedstawisz liczbę zespoloną w postaci trygonometrycznej, to podniesienie jej do potęgi ogranicza się do podniesienia do potęgi jej modułu (r) oraz obliczenia wartości funkcji trygonometrycznych.

[pawellogrd]

szw1710, podałem jedynie przykład gdzie można znaleźć info, choć fakt, że do zrozumienia tego potrzeba się przekopać jeszcze na wiki przez definicje modułu i postaci trygonometrycznej. A co do metod uważam taką swobodę sposobu rozwiązania za bardzo dobrą jednak przykra rzeczywistość pokazuje, że mnóstwo prowadzących nie akceptuje rozwiązań innych niż "ich" schematami. Choć w ten sposób zabijają myślenie i kreatywność.

Również proszę moderatorów o wydzielenie w razie potrzeby postów do osobnego wątku.

[Phobos71]

\(\displaystyle{ z=x+iy}\)

wzór de Moivre'a:
\(\displaystyle{ z ^{n} =\left| z \right| ^{n} \cdot \left[ \cos\left( n \cdot \varphi \right) + i \cdot sin\left( n \cdot \varphi \right) \right]}\)

\(\displaystyle{ \left| z \right| = \sqrt{x ^{2} + y ^{2} }}\) - moduł liczby \(\displaystyle{ z}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \cos \varphi = \frac{x}{\left| z \right| } \\ \sin \varphi = \frac{y}{\left| z \right| } \end{cases}}\)

z układu równań funkcji trygonometrycznych wyliczasz kąt \(\displaystyle{ \varphi}\), potem już tylko podstawiasz do wzoru de Moivre'a.

[Herbarium]

ja jestem zbyt tępy żeby to pojąc tak na sucho ale dzięki wielkie za chęci

[Phobos71]

\(\displaystyle{ z = (2\sqrt{3} - 2i) ^{30} \\ \left| z \right| = \sqrt{(2\sqrt{3}) ^{2} + (-2) ^{2} }=4 \\ \begin{cases} \cos \varphi = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \sin \varphi = -\frac{1}{2} \end{cases}}\)
kąty pochodzą z czwartej ćwiartki (cosinus dodatni, sinus ujemny). Kąty z IV ćwiartki zapisujemy: \(\displaystyle{ \varphi = 2 \pi - \varphi _{0}, \ \ \cos \varphi = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \varphi _{0} = \frac{ \pi }{6}}\), więc \(\displaystyle{ \varphi = \frac{11 \pi }{6}}\). Zostało podstawić do Moivrea.
\(\displaystyle{ (2\sqrt{3} - 2i) ^{30} = 4 ^{30} \cdot \left[ \cos\left( 30 \cdot \frac{11 \pi }{6}\right) + i \cdot \sin\left( 30 \cdot \frac{11 \pi }{6} \right) \right] = ...}\)