postac trygonometryczna

[Darek567]

Otóż generalnie potrafię zapisywać liczby w postaci trygonometrycznej ale te, gdzie \(\displaystyle{ \cos \phi}\) oraz \(\displaystyle{ i\sin \phi}\) są dodatnie. z = 4 - 4i mógłby ktoś po kolei pokazać, jak to rozwiązać? Rozwiązanie to \(\displaystyle{ 4 - 4i = 4\sqrt {2} \left( \cos -\frac{\pi}{4} + i \sin -\frac{\pi}{4} \right)}\)

[macik1423]

\(\displaystyle{ z=x+iy}\)
Postać trygonometryczna:
\(\displaystyle{ z=\left| z\right|(\cos\phi+i\sin\phi)}\)
\(\displaystyle{ \sin\phi= \frac{y}{\left| z\right| }}\), \(\displaystyle{ \cos\phi= \frac{x}{\left| z\right| }}\)
\(\displaystyle{ z=4-4i, \left| z\right|= \sqrt{4^{2}+(-4)^{2}}= \sqrt{32} = 4\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \cos\phi= \frac{x}{\left| z\right| }= \frac{4}{4 \sqrt{2} }= \frac{1}{ \sqrt{2} }= \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin\phi= \frac{y}{\left| z\right| }= \frac{-4}{4 \sqrt{2} }= -\frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
sinus jest ujemny a cosinus dodatni, takie rzeczy dzieją się w IV ćwiartce. \(\displaystyle{ \phi_{0}= \frac{\pi}{4}}\), \(\displaystyle{ \phi=2\pi-\phi_{0}= \frac{7}{4}\pi= -\frac{\pi}{4}}\)
\(\displaystyle{ z=4 \sqrt{2}(\cos(- \frac{\pi}{4})+i\sin(- \frac{\pi}{4})}\)

[Darek567]

wszystko jasne, ale dlaczego na końcu jest \(\displaystyle{ \frac{7}{4} \pi = -\frac{1}{4}\pi}\)? W wielu zadaniach mam odpowiedź, że powinno być na minusie ale nie rozumiem skąd on się tam bierze.

[macik1423]

Zaznacz sobie na układzie współrzędnych kąt \(\displaystyle{ \frac{7}{4}\pi}\), zrobisz to zaczynając odmierzać od dodatniej części osi OX poruszając się przeciwnie do kierunku wskazówek zegara. Ale możesz to zrobić w inny sposób odmierzyć w kierunku z godnym z ruchem wskazówek zegara, aby osiągnąć kąt \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\) będziesz musiał się przesunąć o \(\displaystyle{ -\frac{\pi}{4}}\) od osi OX.

[mareczek93]

A jak przedstawić tą liczbę w postaci wykładniczej \(\displaystyle{ z=|z|e ^{i\phi}}\) ?

Zapis \(\displaystyle{ z=4 \sqrt{2} e ^{-i\ \frac{\pi }{4} }}\) będzie poprawny ?

Czy w postaci wykładniczej \(\displaystyle{ \phi}\) może być ujemne ??

Z góry dziekuje