Witam. Proszę o pomoc w rozwiązywaniu tego typu zadań. Dla mnie w tym przykładzie jest potęga przy z (4), przez co nie wiem jak rozpocząć ten przykład:
\(\displaystyle{ z^{4} -3iz^{2}+4 = 0}\)
Podałem jeden przykład, gdyż jeśli ten zrozumiem, to z resztą sobie poradzę.
Proszę o w miarę szybką pomoc!
Równanie zespolone
-
- Użytkownik
- Posty: 684
- Rejestracja: 6 lis 2009, o 21:00
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 101 razy
Równanie zespolone
Zastosuj podstawienie. Rozważ liczbę zespoloną \(\displaystyle{ w=z^2}\). Otrzymasz wtedy równanie kwadratowe które potrafisz rozwiązać. Gdy to zrobisz, wracasz do podstawienia: znalazłeś już rozwiązania dla równania z 'w', więc teraz piszesz:
\(\displaystyle{ w=z_1^2}\)
\(\displaystyle{ w=z_2^2}\)
I szukasz rozwiązań tych równań. Oczywiście w sumie muszą być 4 rozwiązania, gdyż wielomian stopnia n ma w zbiorze liczb zespolonych n pierwiastków.
\(\displaystyle{ w=z_1^2}\)
\(\displaystyle{ w=z_2^2}\)
I szukasz rozwiązań tych równań. Oczywiście w sumie muszą być 4 rozwiązania, gdyż wielomian stopnia n ma w zbiorze liczb zespolonych n pierwiastków.
-
- Użytkownik
- Posty: 11
- Rejestracja: 14 lis 2010, o 19:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: ck
- Podziękował: 2 razy
Równanie zespolone
Dziękuję. Dzięki tym wskazówkom rozwiązałem 3 pozostałe przykłady, ale tego nie, gdyż utknąłem na prawdopodobnie bardzo prostym miejscu.
W moich obliczeniach otrzymałem \(\displaystyle{ \Delta=5j}\), stąd \(\displaystyle{ w _{1} =4j}\) oraz \(\displaystyle{ w _{2}=-j}\)
Od tego momentu już się pogubiłem i wyniki otrzymałem nieprawidłowe. Nie wiem co zrobić z równaniami \(\displaystyle{ z^{2} = 4j}\) oraz \(\displaystyle{ z^ {2} = -j}\)
Proszę jeszcze raz o pomoc.
W moich obliczeniach otrzymałem \(\displaystyle{ \Delta=5j}\), stąd \(\displaystyle{ w _{1} =4j}\) oraz \(\displaystyle{ w _{2}=-j}\)
Od tego momentu już się pogubiłem i wyniki otrzymałem nieprawidłowe. Nie wiem co zrobić z równaniami \(\displaystyle{ z^{2} = 4j}\) oraz \(\displaystyle{ z^ {2} = -j}\)
Proszę jeszcze raz o pomoc.
-
- Użytkownik
- Posty: 684
- Rejestracja: 6 lis 2009, o 21:00
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 101 razy
Równanie zespolone
\(\displaystyle{ w^2-3iw+4}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=5i}\)
Czyli pierwiastek z delty równy 5i, a nie sama delta.
\(\displaystyle{ z=a+bi\Rightarrow z^2=a^2-b^2+2abi=4i}\)
Porównaj części rzeczywiste i urojone. Oczywiście jedna z nich w którejś z liczb może być zerowa, bo czemu nie? Wylicz a i b, dostaniesz z.
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=5i}\)
Czyli pierwiastek z delty równy 5i, a nie sama delta.
\(\displaystyle{ z=a+bi\Rightarrow z^2=a^2-b^2+2abi=4i}\)
Porównaj części rzeczywiste i urojone. Oczywiście jedna z nich w którejś z liczb może być zerowa, bo czemu nie? Wylicz a i b, dostaniesz z.