Równanie zespolone

[Gaznik]

Witam. Proszę o pomoc w rozwiązywaniu tego typu zadań. Dla mnie w tym przykładzie jest potęga przy z (4), przez co nie wiem jak rozpocząć ten przykład:
\(\displaystyle{ z^{4} -3iz^{2}+4 = 0}\)
Podałem jeden przykład, gdyż jeśli ten zrozumiem, to z resztą sobie poradzę.

Proszę o w miarę szybką pomoc!

[Glo]

Zastosuj podstawienie. Rozważ liczbę zespoloną \(\displaystyle{ w=z^2}\). Otrzymasz wtedy równanie kwadratowe które potrafisz rozwiązać. Gdy to zrobisz, wracasz do podstawienia: znalazłeś już rozwiązania dla równania z 'w', więc teraz piszesz:

\(\displaystyle{ w=z_1^2}\)

\(\displaystyle{ w=z_2^2}\)

I szukasz rozwiązań tych równań. Oczywiście w sumie muszą być 4 rozwiązania, gdyż wielomian stopnia n ma w zbiorze liczb zespolonych n pierwiastków.

[Gaznik]

Dziękuję. Dzięki tym wskazówkom rozwiązałem 3 pozostałe przykłady, ale tego nie, gdyż utknąłem na prawdopodobnie bardzo prostym miejscu.
W moich obliczeniach otrzymałem \(\displaystyle{ \Delta=5j}\), stąd \(\displaystyle{ w _{1} =4j}\) oraz \(\displaystyle{ w _{2}=-j}\)
Od tego momentu już się pogubiłem i wyniki otrzymałem nieprawidłowe. Nie wiem co zrobić z równaniami \(\displaystyle{ z^{2} = 4j}\) oraz \(\displaystyle{ z^ {2} = -j}\)

Proszę jeszcze raz o pomoc.

[Glo]

\(\displaystyle{ w^2-3iw+4}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=5i}\)

Czyli pierwiastek z delty równy 5i, a nie sama delta.

\(\displaystyle{ z=a+bi\Rightarrow z^2=a^2-b^2+2abi=4i}\)

Porównaj części rzeczywiste i urojone. Oczywiście jedna z nich w którejś z liczb może być zerowa, bo czemu nie? Wylicz a i b, dostaniesz z.