Dowód - liczby zespolone

[piotreq140]

Mam problem z następującym zadaniem:
Wykaż, że \(\displaystyle{ |z_1| + |z_2| = \left|\frac{z_1 + z_2}{2} - u \right| + \left|\frac{z_1 + z_2}{2} + u \right|}\) gdzie \(\displaystyle{ u = \sqrt{z_1z_2}}\)

Prawą strone doprowadziłem do postaci: \(\displaystyle{ \frac{\left( \sqrt{z_1} - \sqrt{z_2} \right) ^{2} }{2} + \frac{\left( \sqrt{z_1} + \sqrt{z_2} \right) ^{2} }{2}}\)
Dalej nie mam pomysłu co zrobić, proszę o pomoc.

[pawellogrd]

Podstaw \(\displaystyle{ z=a+bi}\), wtedy \(\displaystyle{ \left| z \right| = \sqrt{a^2 + b^2}}\)

[piotreq140]

Ale jeśli podstawie \(\displaystyle{ z=a+bi}\) do \(\displaystyle{ \frac{\left( \sqrt{z_1} - \sqrt{z_2} \right) ^{2} }{2} + \frac{\left( \sqrt{z_1} + \sqrt{z_2} \right) ^{2} }{2}}\) to pojawia sie problem z sumą cosinusa i sinusa, nie moge wpaść na pomysł jak to dalej przekształcić.

[Dasio11]

Żeby nie myśleć na każdym kroku, czy wiemy o co chodzi z pierwiastkami, zapiszę tę równość ciut inaczej:

\(\displaystyle{ \left| z_1^2 \right| + \left| z_2^2 \right| = \left| \frac{z_1^2 + z_2^2}{2} - z_1z_2 \right| + \left| \frac{z_1^2 + z_2^2}{2} + z_1z_2 \right|.}\)

Mnożymy obustronnie przez dwa:

\(\displaystyle{ 2 \left| z_1^2 \right| + 2 \left| z_2^2 \right| = \left| \left(z_1-z_2 \right)^2 \right| + \left| \left( z_1+z_2 \right)^2 \right|.}\)

Teraz wystarczy pobawić się wzorem

\(\displaystyle{ |u|^2 = u \overline{u}.}\)