Równość liczb n-tej potegi

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
patlas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 272
Rejestracja: 4 paź 2012, o 17:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 1 raz

Równość liczb n-tej potegi

Post autor: patlas »

Witam,
jak obliczyć coś takiego:
\(\displaystyle{ \left ( z-1 \right )^6 = \left ( i-z \right)^6}\)
I tak samo dla przykłady potęgi stopnia \(\displaystyle{ ^n}\)
octahedron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3568
Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 910 razy

Równość liczb n-tej potegi

Post autor: octahedron »

\(\displaystyle{ z-1=(i-z)e^{i\frac{k\pi}{3}},\,k=0,1,...,5}\)
patlas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 272
Rejestracja: 4 paź 2012, o 17:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 1 raz

Równość liczb n-tej potegi

Post autor: patlas »

Ale jak dojść do takiej postaci o jak wyliczyć ten argument? Bardziej przyjazna byłaby dla mnie postać algebraiczna albo trygonometryczna, wraz z etapami dojścia do nich:-)
octahedron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3568
Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 910 razy

Równość liczb n-tej potegi

Post autor: octahedron »

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{r(\cos\varphi+i\sin\varphi)}=\sqrt[n]{r}\left( \cos\frac{\varphi+2k\pi}{n}+i\sin\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right),\,k=0,1,...,n-1}\)
patlas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 272
Rejestracja: 4 paź 2012, o 17:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 1 raz

Równość liczb n-tej potegi

Post autor: patlas »

Znam wzory ogólne ale jak dla tego przypadku obliczyć kąt? Moduł wychodzi dość dziwny a wg wolframa wyników jest 6... Prosilbym o rozwiązanie etapami tego konkretnego przykładu aby mi posłużył jako pomoc przy kolejnych zadaniach tego typu:)
octahedron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3568
Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 910 razy

Równość liczb n-tej potegi

Post autor: octahedron »

\(\displaystyle{ n=6 \Rightarrow \frac{2k\pi}{6}=\frac{k\pi}{3}}\)
patlas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 272
Rejestracja: 4 paź 2012, o 17:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 1 raz

Równość liczb n-tej potegi

Post autor: patlas »

Sam dowód rozumie ale jak policzyć moduł z i później z niego cos i sin, co się stało z potęga lewej strony i dlaczego po oby stronach zostało to samo równanie tylko bez potęg? A samo zadanie polega na wyznaczeniu niewiadomej z...
octahedron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3568
Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 910 razy

Równość liczb n-tej potegi

Post autor: octahedron »

\(\displaystyle{ z_1^n=z_2^n \Leftrightarrow z_1=\sqrt[n]{z_2^n}\\
\sqrt[n]{z^n}=\sqrt[n]{r^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi)}=\sqrt[n]{r^n}\left( \cos\frac{n\varphi+2k\pi}{n}+i\sin\frac{n\varphi+2k\pi}{n}\right)=\\=r\left( \cos\left( \varphi+\frac{2k\pi}{n}\right) +i\sin\left( \varphi+\frac{2k\pi}{n}\right)\right)=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)\cdot \left( \cos\frac{2k\pi}{n}+i\sin\frac{2k\pi}{n}\right)=\\=ze^{i\frac{2k\pi}{n}} ,\,k=0,1,...,n-1}\)
ODPOWIEDZ