Interpretacja geometryczna.

[PiroBoss]

Mam problem z kilkoma przykładami. Jeśli komuś się nie chce tłumaczyć szczegółowo to prosiłbym chociaż o jakieś drobne wskazówki.

\(\displaystyle{ G = \left\{ z \in \mathbb{C} ; arg(z^{6}) = \pi \right\}}\)

\(\displaystyle{ I = \left\{ z \in \mathbb{C}; re(z^{4}) > 0)\right\}}\)

\(\displaystyle{ K = \left\{ z \in \mathbb{C}; 0 < arg\left( \frac{z}{i} \right) \le \frac{ \pi }{4} \right\}}\)

[Dasio11]

\(\displaystyle{ G:}\) Jeśli \(\displaystyle{ z= r \left( \cos \varphi + \mathrm i \sin \varphi \right),}\) to

\(\displaystyle{ z^6 = r \left( \cos 6 \varphi + \mathrm i \sin 6 \varphi \right).}\)

Zatem żeby \(\displaystyle{ \arg z^6 = \pi,}\) to musi być

\(\displaystyle{ 6 \varphi = \pi + 2k \pi}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k \in \{-3, -2, -1, 0, 1, 2 \}.}\)


\(\displaystyle{ I:}\) Podobnie, zbadaj jakie może być \(\displaystyle{ \varphi \in (-\pi, \pi),}\) żeby \(\displaystyle{ 4 \varphi}\) należało do któregoś z przedziałów

\(\displaystyle{ (-4 \pi, - 3 \pi), \ (-2 \pi, - \pi), \ (0, \pi), \ (2 \pi, 3 \pi).}\)


\(\displaystyle{ K:}\) Tutaj musi być

\(\displaystyle{ 0< \varphi-\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{4}.}\)


Poszczególne przedziały i zakres liczby \(\displaystyle{ k}\) mogą się różnić, w zależności od definicji argumentu liczby zespolonej. Aktualnie chyba jest dobrze dla umowy, że

\(\displaystyle{ \arg z \in (- \pi, \pi ].}\)

[PiroBoss]

ale w przykładzie I jest \(\displaystyle{ re}\) a nie \(\displaystyle{ arg}\)

[Dasio11]

W tym przypadku to akurat to samo. Oba warunki

\(\displaystyle{ \Re z > 0 \\
\arg z > 0}\)

oznaczają dokładnie tyle, że \(\displaystyle{ z}\) leży w górnej półpłaszczyźnie otwartej.