Pierwiastki wielomianu w(z)

[Arcymistrz]

Sprawdzić, że liczba \(\displaystyle{ i}\) jest pierwiastkiem wielomianu, a następnie znaleźć pozostałe pierwiastki:
\(\displaystyle{ W(z) = z^{4} - z^{3} + 2z^{2} - z + 1}\)
Sprawdzilem \(\displaystyle{ i}\) zgadza się, a skoro \(\displaystyle{ i}\) jest pierwiastkiem to będzie nim także \(\displaystyle{ -i}\). Dwa pierwiastki z głowy, ale jak to dalej ugryźć?

[fon_nojman]

Skoro pierwiastkami są \(\displaystyle{ i,-i}\) to \(\displaystyle{ W}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ z-i,\ z+i}\) zatem też przez \(\displaystyle{ z^2+1.}\) Podziel \(\displaystyle{ W}\) przez \(\displaystyle{ z^2+1.}\)

[Arcymistrz]

Dzięki za pomoc

[lukasz1804]

Odpowiedni rozkład wielomianu na czynniki można było znaleźć bez sprawdzania, że \(\displaystyle{ i}\) jest pierwiastkiem.

\(\displaystyle{ z^4-z^3+2z^2-z+1=(z^4-z^3+z^2)+(z^2-2z+1)=z^2(z^2-2z+1)+(z^2-2z+1)=(z^2-2z+1)(z^2+1)=(z-1)^2(z-i)(z+i)}\)