Sprawdzić, że liczba \(\displaystyle{ i}\) jest pierwiastkiem wielomianu, a następnie znaleźć pozostałe pierwiastki:
\(\displaystyle{ W(z) = z^{4} - z^{3} + 2z^{2} - z + 1}\)
Sprawdzilem \(\displaystyle{ i}\) zgadza się, a skoro \(\displaystyle{ i}\) jest pierwiastkiem to będzie nim także \(\displaystyle{ -i}\). Dwa pierwiastki z głowy, ale jak to dalej ugryźć?
Pierwiastki wielomianu w(z)
- Arcymistrz
- Użytkownik
- Posty: 134
- Rejestracja: 9 sty 2012, o 17:08
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 3 razy
- fon_nojman
- Użytkownik
- Posty: 1599
- Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 255 razy
Pierwiastki wielomianu w(z)
Skoro pierwiastkami są \(\displaystyle{ i,-i}\) to \(\displaystyle{ W}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ z-i,\ z+i}\) zatem też przez \(\displaystyle{ z^2+1.}\) Podziel \(\displaystyle{ W}\) przez \(\displaystyle{ z^2+1.}\)
- Arcymistrz
- Użytkownik
- Posty: 134
- Rejestracja: 9 sty 2012, o 17:08
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 3 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Pierwiastki wielomianu w(z)
Odpowiedni rozkład wielomianu na czynniki można było znaleźć bez sprawdzania, że \(\displaystyle{ i}\) jest pierwiastkiem.
\(\displaystyle{ z^4-z^3+2z^2-z+1=(z^4-z^3+z^2)+(z^2-2z+1)=z^2(z^2-2z+1)+(z^2-2z+1)=(z^2-2z+1)(z^2+1)=(z-1)^2(z-i)(z+i)}\)
\(\displaystyle{ z^4-z^3+2z^2-z+1=(z^4-z^3+z^2)+(z^2-2z+1)=z^2(z^2-2z+1)+(z^2-2z+1)=(z^2-2z+1)(z^2+1)=(z-1)^2(z-i)(z+i)}\)