równanie w zbiorze liczb zespolonych

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Awatar użytkownika
Arcymistrz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 134
Rejestracja: 9 sty 2012, o 17:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 3 razy

równanie w zbiorze liczb zespolonych

Post autor: Arcymistrz »

Nie wiem czy dobrze rozumiem liczby zespolone, ale z tego co miałem na wykładzie to było mówione, że każdy wielomian stopnia "n" ma dokładnie "n" pierwiastków. Więc jak mam takie równanie:
\(\displaystyle{ 2z^{2} - 2(1+i)z + 2 + i = 0}\) to rozumiem, że zawsze musi mieć \(\displaystyle{ 2}\) pierwiastki? Tymczasem jak rozwiązuje wychodzi mi brak rozwiązań, po kilku przekształceniach dochodzę do czegoś takiego:
\(\displaystyle{ 2x^{2} - 2y^{2} - 2x + 2y + 2 + (4xy - 2y - 2x + 1)i = 0}\)
Obie części przyrównuję do zera i z części urojonej wychodzi, że \(\displaystyle{ y= \frac{1}{2}}\), co potem podstawiam do części lewej i wychodzi \(\displaystyle{ 4x^{2} - 4x + 5 = 0}\), które nie ma rozwiązań, bo \(\displaystyle{ \Delta}\) jest ujemna. Chyba, że można zrobić tak:
\(\displaystyle{ \Delta = -64}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta} = \sqrt{8i}}\)
\(\displaystyle{ x_{1}= frac{4-sqrt{8i}[}{8}}\)
\(\displaystyle{ x_{2}= frac{4+sqrt{8i}[}{8}}\)
\(\displaystyle{ y= \frac{1}{2} \wedge x=\frac{4-\sqrt{8i}}{8}}\)
\(\displaystyle{ y= \frac{1}{2} \wedge \frac{4+\sqrt{8i}}{8}}\)
Z tym, że przecież \(\displaystyle{ z=x + iy}\), czyli przy \(\displaystyle{ x}\) nie powinno być chyba \(\displaystyle{ i}\)?
Nie wiem, mam już mętlik w głowie. Mógłby ktoś mi wyjaśnić jak to działa?
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

równanie w zbiorze liczb zespolonych

Post autor: »

Arcymistrz pisze:Obie części przyrównuję do zera i z części urojonej wychodzi, że \(\displaystyle{ y= \frac{1}{2}}\)
Chyba raczej \(\displaystyle{ x=\frac 12}\).

Ale po co tak się męczyć ze zwykłym równaniem kwadratowym? Nie lepiej skorzystać z delty i wzorów na pierwiastki?

Q.
Awatar użytkownika
Arcymistrz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 134
Rejestracja: 9 sty 2012, o 17:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 3 razy

równanie w zbiorze liczb zespolonych

Post autor: Arcymistrz »

Ok, już ogarnąłem. Dzięki
ODPOWIEDZ