wielomian zespolony

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
zaklopotany93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 202
Rejestracja: 17 wrz 2012, o 08:21
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 57 razy
Pomógł: 9 razy

wielomian zespolony

Post autor: zaklopotany93 »

Pokazać, że jeśli każdy niezerowy i niestały wielomian o współczynnikach zespolonych ma pierwiastek zespolony, to każdy wielomian rzeczywisty o współczynnikach rzeczywistych można rozłożyć na czynniki co najwyżej stopnia drugiego.

Jak pokazać to wynikanie bez zasadniczego twierdzenia algebry i innych takich skomplikowanych środków?
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

wielomian zespolony

Post autor: norwimaj »

zaklopotany93 pisze: Jak pokazać to wynikanie bez zasadniczego twierdzenia algebry
Ale tutaj właśnie polecenie jest, żeby skorzystać z zasadniczego twierdzenia algebry.

Udowodnij, że jeśli \(\displaystyle{ z}\) jest zespolonym pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach rzeczywistych, to \(\displaystyle{ \overline{z}}\) też jest pierwiastkiem tego wielomianu.
zaklopotany93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 202
Rejestracja: 17 wrz 2012, o 08:21
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 57 razy
Pomógł: 9 razy

wielomian zespolony

Post autor: zaklopotany93 »

Masz rację, chodziło mi oczywiście o to żeby tego nie udowadniać tego twierdzenia tylko pokazać to warunkowo.*
A możesz podpowiedzieć jak mam to zrobić? Dopiero zaczynam te tematy.
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

wielomian zespolony

Post autor: norwimaj »

Korzystając z tego, że \(\displaystyle{ \overline{w+z}=\overline{w}+\overline{z}}\) i \(\displaystyle{ \overline{w\cdot z}=\overline{w}\cdot\overline{z}}\).
zaklopotany93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 202
Rejestracja: 17 wrz 2012, o 08:21
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 57 razy
Pomógł: 9 razy

wielomian zespolony

Post autor: zaklopotany93 »

No to jak mam \(\displaystyle{ a(x-z_1)...(x-z_n)}\) dla \(\displaystyle{ a \neq 0}\) to biorąc jakiekolwiek \(\displaystyle{ z_k}\) dla \(\displaystyle{ 1 \le k \le n}\) mam pokazać, że istnieje \(\displaystyle{ z_m=\overline {z_k}}\) dla \(\displaystyle{ 1 \le m \le n}\), ale nadal nie wiem co mi daje to co napisałeś - tzn. wiem skąd się to bierze, ale nie wiem jak to wcisnąć do dowodu.

-- 15 paź 2012, o 23:00 --

Mam pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ W(a+bi)=0,}\) to \(\displaystyle{ W(a-bi)=0.}\) Ale jak to sprytnie zrobić, bo algebraicznie, to chyba ciężko będzie?
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

wielomian zespolony

Post autor: norwimaj »

Jeśli \(\displaystyle{ z_1}\) jest pierwiastkiem, to \(\displaystyle{ a_nz_1^n+\ldots+a_2z_1^2+a_1z_1+a_0=0}\). Przyłóż sprzężenie do obu stron równości.
zaklopotany93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 202
Rejestracja: 17 wrz 2012, o 08:21
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 57 razy
Pomógł: 9 razy

wielomian zespolony

Post autor: zaklopotany93 »

Chyba rozumiem - dzięki. Na koniec zapytam - \(\displaystyle{ \overline{w\cdot z}=\overline{w}\cdot\overline{z}}\) to trzeba uogólnić na dowolne naturalne potęgi i dowolne ilości składników, by zastosować to do tego wielomianu, prawda?
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

wielomian zespolony

Post autor: Dasio11 »

Tak.
ODPOWIEDZ