wielomian zespolony
-
- Użytkownik
- Posty: 202
- Rejestracja: 17 wrz 2012, o 08:21
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 57 razy
- Pomógł: 9 razy
wielomian zespolony
Pokazać, że jeśli każdy niezerowy i niestały wielomian o współczynnikach zespolonych ma pierwiastek zespolony, to każdy wielomian rzeczywisty o współczynnikach rzeczywistych można rozłożyć na czynniki co najwyżej stopnia drugiego.
Jak pokazać to wynikanie bez zasadniczego twierdzenia algebry i innych takich skomplikowanych środków?
Jak pokazać to wynikanie bez zasadniczego twierdzenia algebry i innych takich skomplikowanych środków?
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
wielomian zespolony
Ale tutaj właśnie polecenie jest, żeby skorzystać z zasadniczego twierdzenia algebry.zaklopotany93 pisze: Jak pokazać to wynikanie bez zasadniczego twierdzenia algebry
Udowodnij, że jeśli \(\displaystyle{ z}\) jest zespolonym pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach rzeczywistych, to \(\displaystyle{ \overline{z}}\) też jest pierwiastkiem tego wielomianu.
-
- Użytkownik
- Posty: 202
- Rejestracja: 17 wrz 2012, o 08:21
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 57 razy
- Pomógł: 9 razy
wielomian zespolony
Masz rację, chodziło mi oczywiście o to żeby tego nie udowadniać tego twierdzenia tylko pokazać to warunkowo.*
A możesz podpowiedzieć jak mam to zrobić? Dopiero zaczynam te tematy.
A możesz podpowiedzieć jak mam to zrobić? Dopiero zaczynam te tematy.
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
wielomian zespolony
Korzystając z tego, że \(\displaystyle{ \overline{w+z}=\overline{w}+\overline{z}}\) i \(\displaystyle{ \overline{w\cdot z}=\overline{w}\cdot\overline{z}}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 202
- Rejestracja: 17 wrz 2012, o 08:21
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 57 razy
- Pomógł: 9 razy
wielomian zespolony
No to jak mam \(\displaystyle{ a(x-z_1)...(x-z_n)}\) dla \(\displaystyle{ a \neq 0}\) to biorąc jakiekolwiek \(\displaystyle{ z_k}\) dla \(\displaystyle{ 1 \le k \le n}\) mam pokazać, że istnieje \(\displaystyle{ z_m=\overline {z_k}}\) dla \(\displaystyle{ 1 \le m \le n}\), ale nadal nie wiem co mi daje to co napisałeś - tzn. wiem skąd się to bierze, ale nie wiem jak to wcisnąć do dowodu.
-- 15 paź 2012, o 23:00 --
Mam pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ W(a+bi)=0,}\) to \(\displaystyle{ W(a-bi)=0.}\) Ale jak to sprytnie zrobić, bo algebraicznie, to chyba ciężko będzie?
-- 15 paź 2012, o 23:00 --
Mam pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ W(a+bi)=0,}\) to \(\displaystyle{ W(a-bi)=0.}\) Ale jak to sprytnie zrobić, bo algebraicznie, to chyba ciężko będzie?
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
wielomian zespolony
Jeśli \(\displaystyle{ z_1}\) jest pierwiastkiem, to \(\displaystyle{ a_nz_1^n+\ldots+a_2z_1^2+a_1z_1+a_0=0}\). Przyłóż sprzężenie do obu stron równości.
-
- Użytkownik
- Posty: 202
- Rejestracja: 17 wrz 2012, o 08:21
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 57 razy
- Pomógł: 9 razy
wielomian zespolony
Chyba rozumiem - dzięki. Na koniec zapytam - \(\displaystyle{ \overline{w\cdot z}=\overline{w}\cdot\overline{z}}\) to trzeba uogólnić na dowolne naturalne potęgi i dowolne ilości składników, by zastosować to do tego wielomianu, prawda?