mnożenie i dzielenie liczby zespolonej 0i

[spayky]

zaczynam studia po 20 letniej przerwie w nauce
w miarę możliwości rozumiem mnożenie ale mam zadanie
1. iloczyn liczb zespolonej
\(\displaystyle{ (0,-2)}\) i \(\displaystyle{ (5,0)}\)
\(\displaystyle{ (0-2i) \cdot (5}\) no i właśnie co tu ??\(\displaystyle{ )}\)

rozumiem że iloczyn jest \(\displaystyle{ 0}\) bo liczba urojona jest \(\displaystyle{ 0}\)
czy dobrze myślę ?

2. dzielenie takich liczb zespolonych
\(\displaystyle{ \frac{1}{2-i}}\)

co jest wynikiem takiego dzielenia i jak to zapisać ?

[macik1423]

\(\displaystyle{ (0,-2)=0-2i=-2i}\)
\(\displaystyle{ (5,0)=5+0 \cdot i=5}\)

[spayky]

ale nie kumam jak to dalej pomnożyć

[macik1423]

Z dzieleniem jest jak z wyciąganiem niewymierności z mianownika, z tym, że w zespolonych staramy się aby jednostka urojona nie znajdowała się w mianowniku.

\(\displaystyle{ -2i \cdot 5=-10i}\) lub możesz wykorzystać wzór na mnożenie liczb zespolonych:
\(\displaystyle{ (a,b) \cdot (c,d)=(ac-bd,bc+ad)}\)

[spayky]

ok
dodawanie wyszło tak jak piszesz (0,10) czyli -10i
to już kumam miałem ten wzór ale było tego za dużo


\(\displaystyle{ \frac{0,-2}{5,0}}\)
na dzielenie też mam i wynik wyszedł


0 , \(\displaystyle{ \frac{-2}{5}}\)

czy dobrze zrobiłem ?

na ale tu już nie zastosuje wzoru
\(\displaystyle{ \frac{1}{2-i}}\)

jak to zrobić ,pomnożyć przez sprzężenie czy jak ?

[macik1423]

W tym ułamku trzeba pomnożyć przez sprzężenie mianownika czyli jak jest \(\displaystyle{ 2-i}\) to trzeba pomnożyć ten mianownik przez \(\displaystyle{ 2+i}\) ale tak żeby nie zmienić wartości ułamka, czyli mnożymy przez \(\displaystyle{ 1= \frac{2+i}{2+i}}\) a więc
\(\displaystyle{ \frac{1}{2-i} \cdot \frac{2+i}{2+i}= \frac{2+i}{(2-i)(2+i)}= \frac{2+i}{2^{2}-i^{2}}= \frac{2+i}{4-(-1)}= \frac{2+i}{5}= \frac{2}{5}+ \frac{i}{5}=( \frac{2}{5}, \frac{1}{5})}\)

[spayky]

W tym ułamku trzeba pomnożyć przez sprzężenie mianownika czyli jak jest \(\displaystyle{ 2-i}\) to trzeba pomnożyć ten mianownik przez \(\displaystyle{ 2+i}\) ale tak żeby nie zmienić wartości ułamka, czyli mnożymy przez \(\displaystyle{ 1= \frac{2+i}{2+i}}\) a więc
\(\displaystyle{ \frac{1}{2-i} \cdot \frac{2+i}{2+i}= \frac{2+i}{(2-i)(2+i)}= \frac{2+i}{2^{2}-i^{2}}= \frac{2+i}{4-(-1)}= \frac{2+i}{5}= \frac{2}{5}+ \frac{i}{5}=( \frac{2}{5}, \frac{1}{5})}\)

rozumiem ,czyli jak jest 0i to tego nie piszemy

a powiedz czy to pierwsze dzielenie zrobiłem ok to ze wzory
czyli
\(\displaystyle{ \frac{0,-2}{5,0}}\)

czy wynik jest

0 , \(\displaystyle{ \frac{-2}{5}}\)

[macik1423]

Tak się nie dzieli jak Ty to zrobiłeś. Dzielenie zrobiłem krok po kroku. Ogólnie chodzi o "wyciągnięcie" \(\displaystyle{ i}\) z mianownika.

[spayky]

Tak się nie dzieli jak Ty to zrobiłeś. Dzielenie zrobiłem krok po kroku. Ogólnie chodzi o "wyciągnięcie" \(\displaystyle{ i}\) z mianownika.

ok
to rozumiem jak mam np \(\displaystyle{ z_1=(2,3)}\) a \(\displaystyle{ z_2=(2,-3)}\)
zapisuje to jako \(\displaystyle{ 2+3i}\) oraz \(\displaystyle{ 2-3i}\) i dziele tak jak piszesz ,mnożę przez sprzężenie i sprawa jasna


a ja mam \(\displaystyle{ (0,-2 )}\) oraz \(\displaystyle{ (5,0)}\) podzielić
czyli dziele \(\displaystyle{ 0-2i}\) przez \(\displaystyle{ 5}\) i co tu wpisać \(\displaystyle{ 0}\) czy \(\displaystyle{ 0i}\) ,czy może nie da się tego podzielić

[macik1423]

A, już wiem o co Ci chodzi , to drugie dzielenie masz dobrze, tylko wynik zapisuj w nawiasach\(\displaystyle{ (0,- \frac{2}{5})}\) a jak chcesz bez nawiasów to \(\displaystyle{ - \frac{2}{5}i}\)

[spayky]

ok super to już kumam
ale jeszcze dla pewności
zadanie
podziel

\(\displaystyle{ \frac{2i}{1+i}}\)

wynik

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) + i

[macik1423]

tam mianownik na pewno jest taki?

[spayky]

tam mianownik na pewno jest taki?

\(\displaystyle{ \frac{2i}{1+i}}\)


ps jeszcze nie opanowałem nawiasów

[macik1423]

\(\displaystyle{ \frac{2i}{1+i} \cdot \frac{1-i}{1-i}= \frac{2i(1-i)}{(1+i)(1-i)}= \frac{2i-2i^{2}}{1-i^{2}}= \frac{2i+2}{1+1}= \frac{2(i+1)}{2}=1+i=(1,1)}\)

[spayky]

\(\displaystyle{ \frac{2i}{1+i} \cdot \frac{1-i}{1-i}= \frac{2i(1-i)}{(1+i)(1-i)}= \frac{2i-2i^{2}}{1-i^{2}}= \frac{2i+2}{1+1}= \frac{2(i+1)}{2}=1+i=(1,1)}\)

dobre myślenie ale zrobiłem błąd rachunkowy
super już chyba zrozumiałem ,poćwiczę
wielkie dzięki ,trochę się rozjaśniło w głowie
jeszcze raz dzięki