Obliczyć , potęgowanie dzielenie

[analiza]

a) \(\displaystyle{ \left( 1 + \cos \frac{1}{3} \pi + i\sin \frac{1}{3} \pi \right) ^{6}}\)
odp. \(\displaystyle{ -27}\)

b) \(\displaystyle{ \frac{ \left( 1+i \right) ^{n} }{ \left( 1-i \right) ^{n-2}}}\) gdzie \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą naturalną

odp. \(\displaystyle{ 2i^{n-1}}\)
bardzo proszę o jakieś sugestie

[macik1423]

a) \(\displaystyle{ \left( 1 + \cos \frac{1}{3} \pi + i\sin \frac{1}{3} \pi \right) ^{6}=(1+ \frac{1}{2}+i \frac{ \sqrt{3} }{2})^{6}=( \frac{3}{2}+i \frac{ \sqrt{3} }{2})^{6}}\) i to zamienić na postać trygonometryczną i podnieść do potęgi 6.

[analiza]

macik1423 dziękuje bardzo

[opti]

Co do drugiego (wychodzi mi inaczej niż w odp..., ale może coś pomoże):

\(\displaystyle{ \frac{(1+i)^n}{(1-i)^{n-2}} =}\)

\(\displaystyle{ = \frac{(1+i)^n}{(1-i)^n} \cdot (1-i)^2 =}\)

\(\displaystyle{ = (\frac{1+i}{1-i})^n \cdot (1-i)^2 =}\)

\(\displaystyle{ = (\frac{1+i}{1-i} \cdot \frac{1+i}{1+i} )^n \cdot (1-i)^2 =}\)

\(\displaystyle{ = (\frac{2i}{2} )^n \cdot (-2i)}\)

[macik1423]

u opti wychodzi dobrze bo jeżeli \(\displaystyle{ i^{n} \cdot (-2i)=-2 \cdot i^{n} \cdot i=-2 \cdot i^{n+1}=-2 \cdot i^{n-1} \cdot i^{2}=-2 \cdot (-1) \cdot i^{n-1}=2i^{n-1}}\) czyli tak jak w odp.