Argument główny liczby zespolonej w postaciach tejże

[Kurczak12]

Witam. Jako świeżo upieczony student któremu wypadły 2 wykłady algebry, a na ćwiczeniach jegomość pisze szybciej niż my myślimy zostałem sam z zestawem zadań z licz zespolonych. Tutaj pojawiły się pewne wątpliwości. W sumie to trzy

1) W przeciwieństwie do przykładów dostępnych w internecie bardzo często otrzymuję wartości funkcji trybometrycznych które nie mają łatwo wyznaczalnego kąta lub nie da się go wyznaczyć dokładnie. Co robić z takim fantem? Przykładowo mam liczbę: \(\displaystyle{ 3 + i}\)
Jej moduł wynosi \(\displaystyle{ \sqrt{10}}\) czyli \(\displaystyle{ \cos \varphi= \frac{3}{\sqrt{10}}}\) Czy dozwolone jest w takich wypadkach (przy poprawce na ćwiartkę układu oczywiście z odpowiednim dodawaniem) zapis \(\displaystyle{ \varphi=\arccos \frac{3}{\sqrt{10}}+x}\) (\(\displaystyle{ x}\) od ćwiartki)?
Konkretniej, czy taki zapis \(\displaystyle{ \varphi}\) jest poprawny przy postaci trygonometrycznej np. \(\displaystyle{ \cos [\arccos \frac{3}{\sqrt{10}}]}\)? To samo tyczy postaci wykładniczej.

2) Mam np. liczbę \(\displaystyle{ (2+i)^{6}}\). Mam przedstawić ją algebraicznie ale w trakcie obliczeń wykorzystać postać wykładniczą lub trygonometryczną. Po raz kolejny moduł i funkcje wychodzą dość ciekawie, nie otrzymam kątów. Co robić z takim fantem? Bawić się w \(\displaystyle{ y \cdot \arccos}\) ale jak to się potem będzie miało do postaci algebraicznej?

3) Chyba najbardziej problemowo bo o ile rozwiązać to dam radę ale jeśli mam liczbę w postaci \(\displaystyle{ 2+i\sin \frac{\pi}{6}}\) lub \(\displaystyle{ 1 + \cos \frac{\pi}{4}+i\sin \frac{\pi}{4}}\) i mam je przekształcić na postać trygonometryczną i wykładniczą (ale chodzi mi o 1) to wyliczać wartości funkcji czy też bawić się tożsamościami? Jaka jest ogólna praktyka dające lepsze efekty w takich przypadkach?

[Kartezjusz]

Postać trygonometryczną stosujemy, jak mamy argument.