Witajcie!
Mam problem z wyprowadzeniem dowodu na jedno twierdzenie. Być może jest to moja wina (możliwe, że nie przepisałem dobrze wzoru na wykładzie), ale męczę się z tym od paru godzin i nie mogę go dokończyć. Mianowicie:
"\(\displaystyle{ z=a+bi \neq 0}\) ma dwa różne pierwiastki st. 2 określone wzorami:
\(\displaystyle{ \sqrt{z} = \begin{cases} \pm \sqrt{a} , b=0 , a \ge 0 \\ \pm \sqrt{-a} , b=0 , a < 0 \end{cases}}\)"
A następnie mam wzór dla \(\displaystyle{ b \neq 0}\) :
\(\displaystyle{ \sqrt{z} = ( \pm \sqrt{ \frac{a+\left|z\right| }{2} } + isgn(b) \sqrt{ \frac{-a+\left|z\right| }{2} })}\)
Z 2. wzoru muszę dać dowód na prawdziwość tego twierdzenia. Podstawiłem tam postać trygonometryczną, ale nie jestem pewien, czy zrobiłem dobrze...
\(\displaystyle{ \left[ \sqrt{\left|z\right| } (cos \frac{ \alpha +2 \pi }{2} + isin \frac{ \alpha +2 \pi }{2} )\right] = ( \pm \sqrt{ \frac{a+\left|z\right| }{2} } + isgn(b) \sqrt{ \frac{-a+\left|z\right| }{2} })}\)
podniosłem wszystko do kwadratu:
\(\displaystyle{ \left|z\right| (cos \alpha + isin \alpha ) = \frac{a+\left|z\right| }{2} + \frac{-a+\left|z\right| }{2}}\)
No właśnie... Teraz pytanie, czy ja aby na pewno dobrze podniosłem to wszystko do potęgi drugiej. Bo z tego teoretycznie wychodzi:
\(\displaystyle{ 2\left|z\right| (2cos \alpha + 2isin \alpha ) = 2 \left|z\right|}\)
Więc wyszło, że po podzieleniu przez 2 wyrażenie \(\displaystyle{ cos \alpha + isin \alpha = 1}\)
Czy to aby na pewno możliwe? Poprawcie mnie, jeśli gdzieś popełniłem błąd. Będę bardzo wdzięczny za każdą pomoc.
Dowód na twierdzenie pierwiastka liczby zespolonej
-
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
Dowód na twierdzenie pierwiastka liczby zespolonej
Źle zastosowany wzór skróconego mnożenia dla prawej strony. Sumę podnosisz do kwadratu.
Dowód na twierdzenie pierwiastka liczby zespolonej
Jak mogę w takim razie zredukować \(\displaystyle{ signum}\)?
-
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
Dowód na twierdzenie pierwiastka liczby zespolonej
tak,bo signum będzie grało przy podwojonym iloczynie...
Dowód na twierdzenie pierwiastka liczby zespolonej
Nie ma to jak nie zauważyć oczywistych rzeczy...
Dziękuję za pomoc!
Dziękuję za pomoc!